unendliches
Hi Panther
Stimmt das oder ist es Blödsinn, was wir da so kombiniert
haben.
Es stimmt weder, noch ist es Blödsinn! Vielmehr ist der Gdankengang keineswegs simpel.
Eure Überlegungen verstricken sich in dem (hier geometrischen) Begriff des Unendlichen, der in der Mathematik immer mit äußerster Vorsicht zu handhaben ist… Fast immer sollte man „IST unendlich“ ersetzen durch „geht GEGEN unendlich“, dann bemerkt man eher ggf. den Denkfehler…
- Wir gehen aus von einem unendlich großen Kreis.
- In einem unendlich großen Kreis nähert sich die
„Seitenlinie“ einer Gerade, bleibt aber dennoch leicht
gekrümmt. Ist das soweit richtig?
Mit Seitenlinie meinst du die Peripherie und ihr betrachtet also einen Kreis mit unendlichem Radius. Der Radius ist bei einem Kreis mit dem Krümmungsradius identisch. Der Kreis hat also einen unendlichen Krümmungsradius, d.h. die Krümmung GEHT gegen null.
Eine (unendliche) Gerade kann auch mit der Eigenschaft „Krümmung null“ betrachtet werden. Hier ist JEDER Punkt auf JEDER Orthogonalen zur Geraden in unendlicher Ferne ein Krümmungszentrum.
Aber aus einer gemeinsamen Eigenschaft zweier Objekte kann man nicht auf ihre Identität schließen:
Aus:
- der Tisch ist vierbeinig
- der Hund ist vierbeinig
folgt NICHT die Identität von Tisch und Hund.
Angewendet auf das Beispiel:
Bei einem Kreis (auch Viertelkreis) bleibt die Eigenschaft: „jeder Punkt der Peripherie des Kreise mit Radius R ist vom Zentrum gleichweit entfernt“ erhalten, wenn R -> 00.
Bei einem gleichschenkligen rechtwinkligen Dreieck (Kathete R) bleibt die Eigenschaft „Höhe H = R/sqrt(2)“ erhalten, auch wenn R gegen unendlich geht.
Rein rechnerisches (geometrisches) Argument:
Betrachte einen der beiden Viertelkreisradien R und einen Radius R’ der zu diesem den Winkel 45° hat, der den Kreis also in eurem Gedankengang im Höhenfußpunkt des Dreiecks schneiden würde.
Die Differenz R - R’ ist immer = 0 auch wenn R -> 00, da R = R’
Die Differenz R - H in dem Dreieck mit Kathete R ist aber:
R - H = R - R/sqrt(2) = R*(1 - 1/sqrt(2)), und diese geht gegen 00 mit R -> 00.
Anderes Argument:
In dem Dreieck treffen die Katheten auf die Hypotenuse im Winkel 45°
In dem Viertelkreis stehen die Tangenten in den Schnittpunkten mit den orthogonalen Radien orthogonal aufeinander
Und beide Eigenschaften gehen auch bei R -> 00 NICHT verloren !!
Weiteres Argument:
Daß man ein Quadrat mit Kante R RECHNEN kann, das denselben Umfang hat wie ein Kreis mit Radius R ist gar kein Problem. Dss Problem der Quadratur des Kreises ist, es geometrisch zu konstruieren (d.h. mit Zirkel und Lineal).
Grüße
M.G.
