Quadrupolmoment einer Ladungsverteilung

[charly_b3abec]

Hallo Wissende,

Ich bin auf ein kleines Verständnisproblemchen in E-Dynamik gestossen. Es geht um folgendes:

Das Quadrupolmoment einer Ladungsverteilung ist gegeben durch:

Q_{ij} = \int (3x_{i}x_{j}-r^{2}\delta_{ij})\rho(\vec{x}) dV

Der Tensor Q_{ij} soll spurlos und symmetrisch sein. Die Symmetrie sehe ich auch (von des Symmetrie der Multiplikation). Bei der Spurlosigkeit habe ich Probleme. Um spurlos zu sein muss doch Q_{ij}=0 sein wenn i=j ist. Bei i=j ist aber:

Q_{ii} = \int (3x_{i}^{2}-r^{2})\rho(\vec{x}) dV

Da \rho(\vec{x}) beliebig sein kann, muss wohl (3x_{i}^{2}-r^{2})=0 sein. Das sehe ich nicht ganz ein.

Ich befürchte, ich habe einen grundlegenden Denkfehler drin.

Vielen Dank für allfällige Hilfe
Charly

PS: Sorry für die Latex-Kryptik, wer’s lesen kann, kann’s so sicher besser lesen…

[Moritz_fe1b4f]

Hallo,

Der Tensor Q_{ij} soll spurlos und symmetrisch sein. Die
Symmetrie sehe ich auch (von des Symmetrie der
Multiplikation). Bei der Spurlosigkeit habe ich Probleme. Um
spurlos zu sein muss doch Q_{ij}=0 sein wenn i=j ist.

Nein. Die Spur ist die Summe aller Elemente der Hauptdiagonale, d.h. spurlos heißt vermutlich, dass die Summe Null ist, nicht zwangsläufig jedes einzelne Element.

PS: Sorry für die Latex-Kryptik, wer’s lesen kann, kann’s so
sicher besser lesen…

Kryptik? Ich sehe es so klar vor mir, als wäre es schon durch TeX gejagt worden. Ist halt das einzig wahre…

Grüße,
Moritz

[charly_b3abec]

Hi

Nein. Die Spur ist die Summe aller Elemente der
Hauptdiagonale, d.h. spurlos heißt vermutlich, dass die Summe
Null ist, nicht zwangsläufig jedes einzelne Element.

Da ist mein befürchteter und gesuchter Denkfehler. Jetzt macht das ganze mehr Sinn. Danke sehr!

Charly

[Martin]

Hallo Charly,

Das Quadrupolmoment einer Ladungsverteilung ist gegeben durch:

Q_{ij} = \int (3x_{i}x_{j}-r^{2}\delta_{ij})\rho(\vec{x}) dV

Der Tensor Q_{ij} soll spurlos und symmetrisch sein.

Ja, das ist er.

Die Symmetrie sehe ich auch (von des Symmetrie der
Multiplikation). Bei der Spurlosigkeit habe ich Probleme.
Um spurlos zu sein muss doch Q_{ij}=0 sein wenn i=j ist.

Nein („ρ( r ) dV“ zwecks Schreibarbeitsersparnis durch „…“ ersetzt):

Sp(Q) = Q₁₁ + Q₂₂ + Q₃₃

= ∫ (3 x₁ x₁ – r² · δ₁₁) … + ∫ (3 x₂ x₂ – r² · δ₂₂) … + ∫ (3 x₃ x₃ – r² · δ₃₃) …

= ∫ (3 x₁² + 3 x₂² + 3 x₃² – r² – r² – r²) …

= ∫ (3 (x₁² + x₂² + x₃²) – 3 r²) …

= ∫ (3 r² – 3 r²) …

= 0

Mit freundlichem Gruß
Martin