Quantenmechanik Grundlagen

Wissenschaft Physik
#1

Hallo,

ich lerne zur Zeit die Grundlagen der Quantenmechanik und zu diesen hätte ich ein paar Fragen, vielen Dank im voraus wenn sie sich die Zeit nehmen diese zu beantworten.

Meine Fragen sind auf diese Themen bezogen:

  1. Heisenbergsche Unschärferelation
  2. Wellenfunktion
  3. Mikroteilchen im Potentialtopf

Meine Vorkenntnisse in Mathematik sind Arithmetik, Algebra und Trigonometrie.

Ich habe mich schon mit den Themen der Quantenoptik beschäftigt wie z.B. Wärmestrahlung, Energie, Masse und Impuls von Photonen und die Interaktion von Photonen und Elektronen, doch die oben genannten Themen machen mir am meisten Schwierigkeiten.

Meine Fragen sind:

  1. Zum Thema Heisenbergsche Unschärferelation
  • In meinem Buch wird erklärt das beim gleichzeitigem messen des Wertes für eine Koordinate und den Impuls eines Teilchens einer der Werte ungenauer wird. Die Formel dafür ist: Δx * Δp_x ≥ h Wobei x die Koordinate ist, p_x der Wert des Impulses des Teilchens und h das Plancksche Wirkungsquantum.

Wie kann ich das verstehen, wenn ich z.B. den Wert 2 für die Koordinate habe ändert das dann den Wert für den Impuls und das ist dann gleich oder grösser als h? Wie kann man mit der oben genannten Formel rechnen? Können sie mir ein Beispiel geben?

Weiter steht im Buch das man statt der Koordinate und dem Impuls, Energie und die Zeit die ein Teilchen in diesem Energiezustand verweilt nehmen kann (ΔE * Δt ≥ h) oder die Energie und die Frequenz eines Teilchens (Δx * Δp_x ≥ h), Experimentell kann man das anhand der Spektralllinien beweisen.

Welchen Zusammenhang haben die Spektralllinien mit dem oben genannten Formeln und wieso ist in jeder Formel das Plancksches Wirkungsquantum aufgeführt.
Wann bekomme ich bei einer Rechnung das ist gleich h und wann bekomme ich ist grösser als h Ergebnis heraus, wie rechnet man mit diesen Formeln?

  1. Zum Thema Wellenfunktion
  • Die Wellenfunktion beschreibt die Bewegung eines Teilchens in den Quantenmechanik. Sie beinhaltet 3 Variablen und die Zeit (ψ(x,y,z,t)). Das Quadrat des Moduls dieser Funktion |ψ||² gibt die Wahrscheinlichkeit der Position an und diese nennt man Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion. Für ein stationären Zustand ist die Wahrscheinlichkeit Δω das sích ein Teilchen das durch die Wellenfunktion beschrieben wird in einem Volumen ΔV befindet durch diese Formel gegeben - Δω = |ψ||² * ΔV.

Welche Einheiten haben diese Werte? Ich weiss das die Dichte durch Gramm pro Kubikzentimeter und das Volumen Kubikmeter doch welche Einheit hat die Wellenfunktion in dieser Formel, wie kann man mit ihr rechnen, können sie mir bitte ein Beispiel geben?

  1. Zum Thema Mikroteilchen im Potentialtopf
  • Ein Potentialtopf ist ein Gebiet im Raum in dem die Potentielle Energie E_p eines Teilchens kleiner ist als E_p max.

Was bedeutet das? Wie weiss ich wie hoch die E_p max eines Teilchens ist?

Die Wellenfunktion ändert sich Potentialtopf durch die harmonische Funktion und die Wahrscheinlichkeit ein Teilchen im Potentialtopf zu finden hängt vom Wert der Energie ab und ist überall gleich.

Wie gibt mir die Energie des Teilchens Aufschluss über seine Position?

Der Tunneleffekt trifft dann ein wenn ein Teilchen den Potentialtopf überwindet.

Was kann ich darunter verstehen und wann weiss ich wann der Tunneleffekt aufgetreten ist?

Danke noch einmal.

Mfg. carboneum.

#2

Hallo.
Mal schauen ob ich dir helfen kann,

  1. Heisenbergsche Unschärferelation
  2. Wellenfunktion
  3. Mikroteilchen im Potentialtopf

Meine Fragen sind:

  1. Zum Thema Heisenbergsche Unschärferelation
  • In meinem Buch wird erklärt das beim gleichzeitigem messen
    des Wertes für eine Koordinate und den Impuls eines Teilchens
    einer der Werte ungenauer wird. Die Formel dafür ist: Δx *
    Δp_x ≥ h Wobei x die Koordinate ist, p_x der Wert des Impulses
    des Teilchens und h das Plancksche Wirkungsquantum.

Allgemein gilt sie für 2 konjugierte Variablen wie eben Ort und Impuls, energie und Zeit, Drehwinkel und Drehimpuls.

Wie kann ich das verstehen, wenn ich z.B. den Wert 2 für die
Koordinate habe ändert das dann den Wert für den Impuls und
das ist dann gleich oder grösser als h? Wie kann man mit der
oben genannten Formel rechnen? Können sie mir ein Beispiel
geben?

Hier hast du eben die Bedeutung des deltas vergessen. Die Unschärfe bezieht sich nicht auf den Wert sondern auf den Fehler. Jede Messgröße ist mit einem Messfehler behaftet. Die Unschärferelation sagt aus, je genauer ich den Impuls messen will, desto ungenauer kenne ich den Ort. Das Produkt dieser unschärfen kann nicht kleiner werden als h quer/2. Anschauliches Bsp: Den Ort eines Teilchens misst du mit einer Welle. Je kleiner die Wellenlänge ist, desto genauer kannst du den Ort feststellen. Je kleiner die Wellenlänge desto größer aber die Energie der Welle, du übergibst dem Teilchen Energie, es verändert seine Geschwindigkeit. So steigt die Unschärfe der Geschwindigkeit bei steigender Genauigkeit des Ortes.

Rechenbsp: Schätzt du die Energieunschärfe eines Teilchens mit seiner Masse ab, kannst du die Lebenszeit delta_t des Teilchens abschätzen, indem hquer/2 durch delta_E dividierst.

Weiter steht im Buch das man statt der Koordinate und dem
Impuls, Energie und die Zeit die ein Teilchen in diesem
Energiezustand verweilt nehmen kann (ΔE * Δt ≥ h) oder die
Energie und die Frequenz eines Teilchens (Δx * Δp_x ≥ h),

Das versteh ich nicht, Energie und Frequenz sind bis auf einen konstanten Faktor das Gleiche (eben h)

Experimentell kann man das anhand der Spektralllinien
beweisen.

Welchen Zusammenhang haben die Spektralllinien mit dem oben
genannten Formeln und wieso ist in jeder Formel das
Plancksches Wirkungsquantum aufgeführt.
Wann bekomme ich bei einer Rechnung das ist gleich h und wann
bekomme ich ist grösser als h Ergebnis heraus, wie rechnet man
mit diesen Formeln?

Das ganze sind Abschätzungen. Die Spektrallinien haben eine gewisse Breite, resultierend aus der Energieunschärfe. So spielt das zusammen.

  1. Zum Thema Wellenfunktion
  • Die Wellenfunktion beschreibt die Bewegung eines Teilchens
    in den Quantenmechanik. Sie beinhaltet 3 Variablen und die
    Zeit (ψ(x,y,z,t)).

Die Wellenfunktion im Ortsraum. Man kann sie in beliebige Räume projezieren, außerdem sind kartesische Koordinaten nicht zwingend. Allgemein sagt man, dass die Wellenfunktion den Zustand des Teilchens beschreibt, physikalisch ist aber nur das Betragsquadrat, da die Wellenfunktion komplex sein kann und nicht eindeutig ist.

Das Quadrat des Moduls dieser Funktion
|ψ||² gibt die Wahrscheinlichkeit der Position an und diese
nennt man Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion.

Wenn du im Ortsraum bleibst ja, sie kann die auch Aufschluss über den Impuls des Teilchens oder so geben.

Für ein
stationären Zustand ist die Wahrscheinlichkeit Δω das sích ein
Teilchen das durch die Wellenfunktion beschrieben wird in
einem Volumen ΔV befindet durch diese Formel gegeben - Δω =
|ψ||² * ΔV.

Normalerweise Integriert man die Funktion über den entsprechenden Raumbereich. Aber OK.

Welche Einheiten haben diese Werte? Ich weiss das die Dichte
durch Gramm pro Kubikzentimeter und das Volumen Kubikmeter
doch welche Einheit hat die Wellenfunktion in dieser Formel,
wie kann man mit ihr rechnen, können sie mir bitte ein
Beispiel geben?

Eine WAHRSCHEINLICHKEITSdichte hat nicht die Einheit kg/m³. Das wäre eine Massendichte. Das Endergebnis ist eine Wahrscheinlichkeit, die ist natürlich Einheitenlos. Das Volumen stimmt von der Einheit, jetzt kannst du dir den Rest selbst überlegen.

  1. Zum Thema Mikroteilchen im Potentialtopf
  • Ein Potentialtopf ist ein Gebiet im Raum in dem die
    Potentielle Energie E_p eines Teilchens kleiner ist als E_p
    max.

Dann ist das Teilchen im Potentialtopf. Ein Potentialtopf ist eigenltich sowas:
http://de.wikipedia.org/wiki/Potentialtopf

Was bedeutet das? Wie weiss ich wie hoch die E_p max eines
Teilchens ist?

Kommt drauf an wie viel Energie du deinem Teilchen gibst.

Die Wellenfunktion ändert sich Potentialtopf durch die
harmonische Funktion und die Wahrscheinlichkeit ein Teilchen
im Potentialtopf zu finden hängt vom Wert der Energie ab und
ist überall gleich.

Ist mir nicht ganz klar was du meinst. Die Wf im Topf ist eine gebundene Wf mit diskreten Eigenenergien im Gegensatz zur freien Wf.

Was kann ich darunter verstehen und wann weiss ich wann der
Tunneleffekt aufgetreten ist?

Der Tunneleffekt beschreibt die Möglichkeit dass ein qm Teilchen ein Gebiet überwindet, dass es nach klassischer Physik nicht überwinden kann. Stell dir einen Berg vor, den ein Ball überollen soll. gibst du ihm eine gewisse kinetische Energie, kommt er so weit, bis seine ganze E_kin in pot. Energie umgewandelt ist, dann rollt er zurück. In der QM kann es passieren, dass das Teilchen dennoch auf der anderen Seite ankommt. Das nennt man Tunneleffekt. findest du das Teilchen auf der anderen Seite des Berges, obwohl es klassisch zu wenig Energie hat, ist es getunnelt.

Hoffe ich konnte helfen.

Danke noch einmal.

Mfg. carboneum.

lg
Alex