Quantenmechanische Beschreibung des Widerstandes

[Tim]

Hallo,
in einem Atom werden für die Elektronen doch Wellenfunktionen und Aufenthaltswahrscheinlichkeiten definiert.
Wenn man sich das Elektron so vorstellt und nicht als Kugel, die auf ihrem Weg durch einen Leiter an die Atomrümpfe prallt, dann müsste es doch auch eine quantenmechanische Modellvorstellung des ohmschen Widerstandes geben?

Wie erklärt man den Spannungsabfall in einem Leiter mit ohmschen Widerstand?

Ich denke, es werden dann in einem Festkörper/Atomgitter gewisse Bedingungen formuliert, innerhalb derer sich stehende Wellen ausbilden können.
Je größer die Energie, desto kleiner die Wellenlänge und desto eher können sich stehende Wellen ausbilden (auch weil es Energie abgeben kann und dann seine Wellenlänge ändern kann).
Je länger das Elektron unterwegs war, desto schwerer findet es neue Möglichkeiten stehende Wellen auszubilden und dann entsteht ein gewisser Druck der anderen noch höher energetischen Elektronen, die ja Möglichkeiten hätten, aber blockiert werden.
Aber wie gesagt, das wäre nur so eine Idee von mir.

Vielen Dank für Aufklärung
Tim

[Michael_Bauer_c1319c]

Hallo!

Mal sehen, ob ich das noch zusammenkriege:

Elektronen bewegen sich durch ein metallisches Gitter als Wellen. Wenn die Teilchenwellen die gleiche Wellenlänge wie die „Abstände“ der Atomrümpfe hat, können sich die Elektronen nahezu widerstandslos durch das Metall bewegen, weil dann die Aufenthaltswahrscheinlichkeit in der Nähe der Atomrümpfe ohnehin minimal ist. Diese Wellen nennt man auch nach ihrem Erfinder „Bloch-Wellen“.

Da der Kristall dreidimensional ist und da die Energie der Elektronen recht hoch ist, lässt sich immer irgendein Elektron finden, das mit seiner Wellenlänge passt. Eigentlich dürfte ein Metall (aus naiver quantenmechanischen Sicht) gar keinen Widerstand haben.

Allerdings gibt es zwei Effekte, die dem entegegen stehen: Die Elektronen behindern sich gegenseitig durch das Pauli-Prinzip. Das wird nur aufgehoben, wenn sich die Elektronen paarweise zu so genannten Cooper-Pairs zusammenschließen. Dabei heben sich ihre entgegen gerichtete Spins gegenseitig auf, so dass die Cooper-Pairs sich wie Bosonen verhalten, die nicht dem Pauli-Prinzip unterliegen. Das kann aber nur bei sehr niedrigen Temperaturen passieren, weil sonst die thermische Bewegung ausreicht, um die Kopplung zwischen den beiden Elektronen aufzubrechen. Deswegen beobachtet man echte Supraleitung nur bei sehr niedrigen Temperaturen.

Zurück zu normalen Verhältnissen: Die Bloch-Wellen funktionieren nur so lange, wie die Atome schön regelmäßig angeordnet sind. Es gibt jedoch kaum perfekte Einkristalle. Überall treten Gitterfehler auf bzw. die Atomrümpfe stören die Regelmäßigkeit durch ihre thermische Bewegung. Dadurch wird das vollkommen mühelose Fortkommen der Elektronen gestört.

Wie jetzt die Energieabgabe der Elektronen an den Leiter erfolgt, die dazu führt, dass der heiß wird (und die letztlich dafür verantwortlich ist, dass man eine Spannung anlegen muss), das lass Dir mal von jemand anderem erklären

Michael

[Moritz_fe1b4f]

Hallo,

Mal sehen, ob ich das noch zusammenkriege:

Ziemlich gut sogar.

Noch ein paar Anmerkungen:
Es ist fast unmöglich, elektronische Leitung durch einen Festkörper rein quantenmechanisch zu beschreiben. Die meisten Erklärungen, wie z.B. das Drude-Modell, sind semiklassisch: Sie beschreiben zwar entweder das Elektron als Teilchen, oder das Gitter nur annähernd, oder (das machen die meisten Modelle) vernachlässigen Wechselwirkungen zwischen Elektronen, mit Ausnahme des Pauli-Prinzips.

Dadurch wirken die meisten Modelle recht zusammengeschustert, und gelten nur in bestimmten Grenzfällen (z.B. hohe oder tiefe Temperaturen, nur für Metalle, oder nur für Halbleiter, oder …). Aber so ein Festkörper ist eben eine dreckige Angelegenheit, und lässt sich nicht so einfach in ein elegantes, umfassendes Modell pressen.

Wie jetzt die Energieabgabe der Elektronen an den Leiter
erfolgt, die dazu führt, dass der heiß wird (und die letztlich
dafür verantwortlich ist, dass man eine Spannung anlegen
muss), das lass Dir mal von jemand anderem erklären

Dazu stellt man sich das Elektron wieder als Teilchen vor, und sagt, dass das Elektron ein Atom (oder eine Gitterschwingung, Phonon genannt) trifft, so wie eine Billardkugel eine andere trifft, und damit weitere Gitterschwingungen anregt und selbst an Impuls verliert.

Grüße,
Moritz

[Michael_Bauer_c1319c]

Morgen Moritz,

Wie jetzt die Energieabgabe der Elektronen an den Leiter
erfolgt, die dazu führt, dass der heiß wird (und die letztlich
dafür verantwortlich ist, dass man eine Spannung anlegen
muss), das lass Dir mal von jemand anderem erklären

Dazu stellt man sich das Elektron wieder als Teilchen vor, und
sagt, dass das Elektron ein Atom (oder eine Gitterschwingung,
Phonon genannt) trifft, so wie eine Billardkugel eine andere
trifft, und damit weitere Gitterschwingungen anregt und selbst
an Impuls verliert.

So etwas hatte ich auch im Kopf. Ich wollte es aber nicht hinschreiben, weil es im Sinne der Frage nicht quantenmechanisch ist. Wenn ich mich an mein Schmalspur-Lehramts-Physik-Studium denke, erinnere ich mich nur daran, dass Dissipation bzw. die Wechselwirkung eines mikroskopisch-quantenmechanischen mit einem makroskopisch-thermodynamischen System zu den schwierigsten Problemen der QM überhaupt gehört.

Aber da erzähle ich Dir bestimmt nichts Neues…

Michael

[Tim]

Aber nur nicht zu klassisch werden… Bändermodell?

Wie jetzt die Energieabgabe der Elektronen an den Leiter
erfolgt, die dazu führt, dass der heiß wird (und die letztlich
dafür verantwortlich ist, dass man eine Spannung anlegen
muss), das lass Dir mal von jemand anderem erklären

Dazu stellt man sich das Elektron wieder als Teilchen vor, und
sagt, dass das Elektron ein Atom (oder eine Gitterschwingung,
Phonon genannt) trifft, so wie eine Billardkugel eine andere
trifft, und damit weitere Gitterschwingungen anregt und selbst
an Impuls verliert.

Aber das Elektron darf nicht beschleunigt werden, weil man sonst auch elektromagnetische Felder messen müsste, also auch bei Gleichstrom.
Wenn man das Modell mit den Wellen weiter denkt, z.B. http://de.wikipedia.org/wiki/B%C3%A4ndermodell, kann man doch sagen, dass in dem Leitungsband dann doch gewisse Potentiale stecken, die zu überwinden sind.
Wenn durch die Spannung eine Lücke in einem Orbital entsteht, dann werden die hinteren Elektronen nachgezogen, allerdings müssen sie über einen Berg, dabei nehmen sie Energie auf und wenn sie den Berg hinabrutschen, dann ist Energie übrig, die an die umliegenden Atomrümpfe abgegeben werden kann.
Der Spannungsabfall ist dann dadurch zu erklären, dass je höher bzw. öfter diese zu überwindenden Potentiale auftauchen, die Elektronen umso schlechter nachgeliefert werden.

Klingt das plausibel?

P.S.: Werden frei Elektronen außerhalb das Leiters auch beschleunigt, weil sie ja den Spannungsabfall, der im Leiter ist, spüren müssten?