Quantenmechanischen Zustand normieren

[Chutriel]

Hallo an alle,

bin neu auf dem Gebit der Quantenmechanik und hab hier ein Problem, wo ich Hilfe benötige. Und zwar habe ich einen die Zustände Q eines Systems, das durch die Linearkombination zweier orthonormierter Zustände a und b dargestellt werden kann. In einem ersten Schritt soll der Zustand normiert werden.
Ich hab mir dann Folgendes überlegt:

|Q>= c1*|a> + c2*|b>

die norm von |Q> wäre dann das Produkt mit sich selbst, also Skalarprodukt:
=(c1*+c2*|b&gt:wink:

wenn ich das nun ausrechne komme ich auf einen reellen Ausdruck, meine Norm, die ich dann vor meinen Zustand Q setze. also (1/norm)*|Q> wäre dann mein normierter Zustand.

Ist meine Herangehensweise richtig oder vollkommen falsch?

Danke für die Hilfe

[VAST]

Hallo!

|Q>= c1*|a> + c2*|b>

Heißt * hier „mal“ oder „komplex konjugiert“? Das wird nämlich noch sehr wichtig Denn: bei allem, was ich schreibe, bedeutet das jetzt komplex konjugiert. D.h. wir einigen uns hier erstmal, dass
|Q>= c1|a> + c2|b>

die norm von |Q> wäre dann das Produkt mit sich selbst, also
Skalarprodukt:

Nein, ist 1, es sei denn |Q> ist 0.

=(c1*+c2*|b&gt:wink:

Langsam:
|Q>= c1|a> + c2|b>

Daraus folgt für
=( + c2|b&gt:wink:

So, kümmern wir uns nun um die Norm!

wenn ich das nun ausrechne komme ich auf einen reellen
Ausdruck, meine Norm, die ich dann vor meinen Zustand Q setze.
also (1/norm)*|Q> wäre dann mein normierter Zustand.

Ne, dann fehlt dir noch ne Wurzel!

Wenn N jetzt mal die Norm ist, dann suchst du im Endeffekt ja folgenden Ausdruck:

|Q>= N(c1|a> + c2|b&gt:wink:

Entsprechend wäre dann auch =N²( + c2|b&gt:wink: = 1

Dieses Monster musst du nun nach N auflösen! Das ist dann deine Norm. Das „1/Norm“ ergibt sich automatisch, wie du siehst.

Hoffe ich hab mich richtig erinnert. Das is alles sooo lange her Lasse mich gern korrigieren!

lg
vast

[Peter_57]

Hallo,

bin neu auf dem Gebit der Quantenmechanik und hab hier ein
Problem, wo ich Hilfe benötige. Und zwar habe ich einen die
Zustände Q eines Systems, das durch die Linearkombination
zweier orthonormierter Zustände a und b dargestellt werden
kann. In einem ersten Schritt soll der Zustand normiert
werden.
Ich hab mir dann Folgendes überlegt:

|Q>= c1*|a> + c2*|b>

die norm von |Q> wäre dann das Produkt mit sich selbst, also
Skalarprodukt:
=(c1*+c2*|b&gt:wink:

wenn ich das nun ausrechne komme ich auf einen reellen
Ausdruck, meine Norm, die ich dann vor meinen Zustand Q setze.
also (1/norm)*|Q> wäre dann mein normierter Zustand.

Ist meine Herangehensweise richtig oder vollkommen falsch?

Bist du sicher, dass

|Q>= c1*|a> + c2*|b>

nicht so geschrieben werden muss?

|Q>= |a> c1+ |b> c2

Ich berufe mich dabei auf „Feynman Band 3, Quantenmechanik“, ein sehr lesenswertes Buch in diesem Zusammenhang. Danach ist wohl nicht egal, wie rum man das schreibt.

c1 = und c2= **sind die Amplituden (komplexe Zahlen) im Zustand |a> bzw. im Zustand |b> zu sein, die in der Linearkombination den zusammengesetzten Zustand |Q> bilden. ist Eins.

Allgemein würde gelten:

= + = 1

Speziell geht es ja um ein physikalisches Problem, das in einer Hamilton- Matrix formuliert wird. Bei der Normierung wird dafür gesorgt, dass die Beträge der Amplitudenquadrate Eins sind.

Wie du sicher erkennst, bin ich selbst nicht so firm in der Materie. Ich wäre selbst sehr gespannt, was die Physik -Experten dazu zu sagen haben.

Gruß

Peter**

[Peter_57]

Korrektur,

ich meinte

Bei der Normierung wird dafür gesorgt, dass die Summe der Beträge der Amplitudenquadrate Eins sind. …

[VAST]

Ergänzung
achja, hier noch ein Hinweis:

und =N²( + c2|b&gt:wink: = 1

Dieses Monster musst du nun nach N auflösen!

Beim Auflösen der Klammer wirst du auf Ausdrücke wie stoßen, diese Fallen aber weg, da =0 ist.

So müsste es stimmen

Wenn du noch fragen hast, dann meld dich!

lg
vast

[Der_Namenlose]

Hallo.

wenn ich das nun ausrechne komme ich auf einen reellen

… sogar positiven …

Ausdruck, meine Norm, die ich dann vor meinen Zustand Q setze.

… genau genommen das Normquadrat, denn | |Q> |^2 = …

also (1/norm)*|Q> wäre dann mein normierter Zustand.

… mit norm = sqrt( ) …

Ist meine Herangehensweise richtig oder vollkommen falsch?

Richtig, wenn Du rechentechnisch die Ausführungen von vast beachtest und korrekt komplex konjugierst.

Liebe Grüße,

The Nameless

[Alexander_H_8968b5]

Hi,
Ich hab eine Frage, wenns auch ok ist ?

Nein, ist 1, es sei denn |Q> ist 0.

Warum muss das so sein? Gerade vor der Normierung? Wir wollen hier doch erst de Zustand Q normieren, demnach sollte hier bzw muss hier nicht 1 rauskommen, oder irre ich mich jetzt?

Wenn das gelten würde, wäre der Zustand ja bereits normiert, und iwr könnten uns das Ssparen, oder nicht?

lg
Alex

[Michael_Bauer_c1319c]

Bist du sicher, dass

|Q>= c1*|a> + c2*|b>

nicht so geschrieben werden muss?

|Q>= |a> c1+ |b> c2

Ich berufe mich dabei auf „Feynman Band 3, Quantenmechanik“,
ein sehr lesenswertes Buch in diesem Zusammenhang. Danach ist
wohl nicht egal, wie rum man das schreibt.

Die Koeffizienten sind doch skalare Konstanten (oder habe ich da jetzt was nicht verstanden). Und die kommutieren doch mit allem.

Problematisch wird es nur wenn bei

A|x>

A ein Operator ist. Dann gilt im allgemeinen Fall tatsächlich

A|x> ≠ |x>A

Michael

[Peter_57]

Hallo Michael,

Die Koeffizienten sind doch skalare Konstanten (oder habe ich
da jetzt was nicht verstanden). Und die kommutieren doch mit
allem.

Problematisch wird es nur wenn bei

A|x>

A ein Operator ist. Dann gilt im allgemeinen Fall tatsächlich

A|x> ≠ |x>A

Michael

Wie gesagt, bin ich auf diesem Gebiet auch nicht besonders firm. Ich dachte Folgendes: damit in der „Klammerschreibweise“, die ja wohl auf Dirac zurückgeht, ein Ausdruck = 1 wie etwa

= + **= 1

herauskommt, muss man folgenden Ausdruck in der „ket“ Schreibweise vorliegen haben

|Q>= |a> c1+ |b> c2

denn

= c1+ c2

ergibt

c1 = und c2 =

Andersherum würde ja stehen

|Q>= c1 |a>+ c2 |b>

also

= c1 + c2

was irgendwie keine sinnvollen Ausdrücke für c1 und c2 ergibt, oder?.

Was die Normierung angeht, so stelle ich mir immer folgendes Rechenbeispiel vor: Zwei unbekannte komplexe Zahlen ergeben eine bekannte komplexe Zahl. Die Betragsquadrate der beiden unbekannten Zahlen sind Eins. Wie lauten die beiden Zahlen.

Aber wie gesagt, ich bin da auch nicht so richtig firm.

Gruß

Peter**

[Der_Namenlose]

Hallo zusammen.

Ich dachte Folgendes: damit in der „Klammerschreibweise“, die ja wohl auf
Dirac zurückgeht, ein Ausdruck = 1 wie etwa

= + **= 1

herauskommt, muss man folgenden Ausdruck in der „ket“
Schreibweise vorliegen haben

|Q>= |a> c1+ |b> c2

denn

= c1+ c2

ergibt

c1 = und c2 =**

Was rechnest Du hier? Ich bekomme nur

= c1+ c2
\quad \Rightarrow \quad
c_1 = \frac{-c_2}{}

heraus.

Andersherum würde ja stehen

|Q>= c1 |a>+ c2 |b>

also

= c1 + c2

was irgendwie keine sinnvollen Ausdrücke für c1 und c2 ergibt,
oder?.

Ehrlich gesagt verstehe ich Deine Rechnung nicht. Insbesondere bleibt mir völlig unklar, an welcher Stelle die Vertauschung von Skalar und Vektor einen Unterschied erzeugt. Denn meines Erachtens sind c|Q> und |Q>c zwei völlig gleichwertige Ausdrücke, wenn |Q> einen Vektor und c eine komplexe Zahl bezeichnen.

Was die Normierung angeht, so stelle ich mir immer folgendes
Rechenbeispiel vor: Zwei unbekannte komplexe Zahlen ergeben
eine bekannte komplexe Zahl. Die Betragsquadrate der beiden
unbekannten Zahlen sind Eins. Wie lauten die beiden Zahlen.

Ich kenne das so, dass man zum betrachteten Vektorraum V über dem Körper K ein Skalarprodukt : VxV -> K definiert und dadurch eine Norm |.| : V -> K induziert gemäß
|v| := \sqrt{}.

Liebe Grüße,

The Nameless

[Peter_57]

Hallo,

Was rechnest Du hier?

Ich habe doch gar nichts gerechnet, mir gings nur um die „Klammerschreibweise“. Weil mir diese Schreibweise aus meinem Feynman Buch anders in Erinnerung ist. Dann sagt mir doch, wie du liest. Ich lese das als „die Amplitude eines Übergangs von a nach Q“.

Rechnerisch ist das eine komplexe Zahl. Das konjugiert komplexe von ist meiner Ansicht nach . Der Ausdruck mal wird zur Berechnung der Norm verwendet. Alles weitere hast du ja bereits gerechnet.

Vielleicht haben wir uns ja nur gründlich missverstanden. Für meinen beitrag dazu entschuldige ich mich

Gruß

Peter

[Der_Namenlose]

Hallo Peter.

Was rechnest Du hier?

Ich habe doch gar nichts gerechnet

Ich glaube doch.

Dann sagt mir doch, wie du liest. Ich lese das als „die Amplitude eines
Übergangs von a nach Q“.

Aha, nun vermute ich, was Du im Kopf hattest. Ich schreibe meine Vermutung als Rechnung auf, dann kannst Du ja kommentieren, ob es das ist.

Wir haben einen Ket-Zustand |Q> = c_1 |a> + c_2 |b> und multiplizieren diesen von links mit dem Bra

= c_1 \underset{=1}{\underbrace{}}

• c_2 \underset{=0}{\underbrace{}}
  = 1.

Dabei ist =1, da die Basiszustände nach Voraussetzung des UP’ normiert sind. Weiter ist =0, da die Basiszustände nach Voraussetzung des UP’ orthogonal sind.

Vielleicht haben wir uns ja nur gründlich missverstanden. Für
meinen beitrag dazu entschuldige ich mich

Oh, kein Problem, erst in der Diskussion festigt sich das Wissen.

Liebe Grüße,

The Nameless

[Peter_57]

Hallo Nameless,

Aha, nun vermute ich, was Du im Kopf hattest. Ich schreibe
meine Vermutung als Rechnung auf, dann kannst Du ja
kommentieren, ob es das ist.

Wir haben einen Ket-Zustand |Q> = c_1 |a> + c_2 |b> und
multiplizieren diesen von links mit dem Bra

= c_1 \underset{=1}{\underbrace{}}

• c_2 \underset{=0}{\underbrace{}}
  = 1.

Dabei ist =1, da die Basiszustände nach Voraussetzung des
UP’ normiert sind. Weiter ist =0, da die Basiszustände
nach Voraussetzung des UP’ orthogonal sind.

Das, was mir durch den Kopf ging, war

Wir haben einen Ket-Zustand |Q> = c_1 |a> + c_2 |b> und multiplizieren diesen von links mit dem Bra = c1 mal + c2 mal

Das wollte ich mir schlüssig machen, indem ich c1 und c2 als irgendwas ausdrückte, was bei der Multiplikation auf hinauslief. Daher habe ich mich darauf festgebissen, dass der Ausdruck (noch mal wie oben)

= c1 mal + c2 mal

eigentlich

= mal c1+ mal c2

heißen muss. Denn dann kann ich c1 auch als schreiben und c2 als **.

Und jetzt füge ich noch hinzu, dass dann auf der linken Seite zwei herauskommt, auf der rechten Seiten jedoch die Eins steht. Was dann bedeuten würde, dass die Norm ein halb ist.

Aber ich bin mir jetzt überhaupt nicht mehr sicher

Gruß

Peter**

[Der_Namenlose]

Hallo nochmal.

Das wollte ich mir schlüssig machen, indem ich c1 und c2 als
irgendwas ausdrückte, was bei der Multiplikation auf
hinauslief. Daher habe ich mich darauf festgebissen, dass der
Ausdruck (noch mal wie oben)

= c1 mal + c2 mal

eigentlich

= mal c1+ mal c2

heißen muss. Denn dann kann ich c1 auch als schreiben
und c2 als **.

Und jetzt füge ich noch hinzu, dass dann auf der linken Seite
zwei herauskommt, auf der rechten Seiten jedoch die Eins
steht. Was dann bedeuten würde, dass die Norm ein halb ist.**

Hier verstehe ich Dich schon wieder nicht, muss ich gestehen. Hast Du evtl. rechts und links vertauscht? Denn links steht (wenigstens im Falle eines normierten Zustandes |Q&gt:wink: ja als dessen Normquadrat die Eins. Aber rechts steht mitnichten zwei, denn |a> . Denn ist als Skalarprodukt eine Zahl, |a>, da für einen beliebigen Zustand |Z> stets
|a> = |a> gilt, also inhaltlich der Anteil von |Z> in Richtung |a>. Aber vielleicht missverstehe ich Dich auch wieder.

Liebe Grüße,
The Nameless

[Peter_57]

Hallo Nameless,

Und jetzt füge ich noch hinzu, dass dann auf der linken Seite
zwei herauskommt, auf der rechten Seiten jedoch die Eins
steht. Was dann bedeuten würde, dass die Norm ein halb ist.

Das ist meinerseits falsch, totaler Bockmist, sorry.
Meine Rechnung war

= mal c1+ mal c2

mit

c1=, das ist das konjugiert komplexe von
c2=**, das ist das konjugiert komplexe von

= Betrag von zum Quadrat + Betrag von zum Quadrat = 1

Hier verstehe ich Dich schon wieder nicht, muss ich gestehen.

Zurecht, denn ich habe die Klammerschreibweise deshalb mit Q ergänzt, damit die Summe der Quadrate der Beträege der komplexen Amplituden c1 und c2 Eins wird, weil rechts = 1 wird. Was weder die ursprüngliche Frage nach der Norm beantwortet, noch eine allgemeine Lösung ist. Denn die Ergänzung mit Q erfordert ja gar keine Norm.

Gruß Peter**