Quantenphysik: Paarbildung (Elektron + Positron)

[Globemaster]

Hallo !
Ich schreibe nächste Woche Abitur und unser Lehrer hat uns angedeutet, dass er eine Transferaufgabe zur Paarbildung (Elektron + Positron) stellen wird. Aus diesem Grund habe ich mich auch schon ausführlich über das Thema informiert; Energieerhaltung und der Vorgang sind mir relativ klar.

Mein Problem dreht sich um die Impulse bzw. Impulserhaltung bei der Paarbildung sowie bei der Umkehrung der Paarbild (Elektron + Positron = 2*h*f).

1.Wie lautet der Impulserhaltungssatz bezogen auf die Paarbildung bzw. auf ihre Umkehrung ?

2. Was genau passiert bei der Umkehrung der Paarbildung ? Wie kommt es zur Vernichtung zwischen Elektron, Positron, welche Gesetze (FORMELN, Herleitung etc.) spielen eine Rolle.

Bitte um eine schnelle Antwort; am Montag ist die Prüfung.

Grüße Nico

[Stefan_Neumeier_a340d1]

Hallo Nico,

Ich schreibe nächste Woche Abitur

viel Glück!

und unser Lehrer hat uns
angedeutet, dass er eine Transferaufgabe zur Paarbildung
(Elektron + Positron) stellen wird. Aus diesem Grund habe ich
mich auch schon ausführlich über das Thema informiert;
Energieerhaltung und der Vorgang sind mir relativ klar.

Transfertechnisch wird da auch nicht mehr kommen als Energie- und Impulssatz, und dann auch nur im Schwerpunktssystem (s.u.) - sonst gibt das eine elende Rechnerei mit cos \theta und so.

Das Schwerpunktssystem ist dasjenige Koordinatensystem, in dem der Gesamtimpuls gleich Null ist. Hätten wir zwei Billardkugeln, die aufeinanderdonnern, so würden sie zentral aufeinanderfliegen (ihre Impulsvektoren wären antiparallel).

Für Elektron und Positron sind Energie E und Impuls p relativistisch zu rechnen.

Das Rumwurschteln mit Geschwindigkeiten v ist unangebracht,
es sei E (und nicht v) die wichtige Größe. Der zugehörige Impuls p bestimmt sich aus dem Energie-Pythagoras:

E^2 = m^2 c^4 + p^2 c^2

In diesem E ist auch die Ruhenergie schon eingebaut, die ja bei der Paar-Zerstrahlung mit investiert wird für die beiden Photonen.

(bei Newton wäre übrigens E = p^2/(2m) , dazu noch die Ruhenergie mc^2 )

Das Photon mit Energie E ( also das h*f ) besitzt den Impuls p = E/c (das folgt easy aus dem Energie-Pythagoras, indem man voll korrekt m=0 setzt).

Wenn der Lehrer Euch das Abi nicht verderben will, will er nur Energie- und Impuls-Erhaltungssatz anwenden lassen.

Warum sind es zwei Photonen, die nach der Paarzerstrahlung davonfliegen? und nicht bloß 1 Stück, das dann die gesamte Masse 2mc^2 wegtragen würde?

Na?

Beste Grüße
Stefan

[Globemaster]

Ich schreibe nächste Woche Abitur

viel Glück!

Danke

Transfertechnisch wird da auch nicht mehr kommen als Energie-
und Impulssatz, und dann auch nur im Schwerpunktssystem (s.u.)

• sonst gibt das eine elende Rechnerei mit cos \theta und so.

Ich hoffe es !

E^2 = m^2 c^4 + p^2 c^2

In diesem E ist auch die Ruhenergie schon eingebaut, die ja
bei der Paar-Zerstrahlung mit investiert wird für die beiden
Photonen.

D.h. also, dass ich nach der gegenseitigen Vernichtung von Elektron und Positron 2 Photonen mit jeweils dem Impuls p=W/c=m0*c^2/c=m0*c habe ? Was passiert mit der kinetischen Energie von Elektron und Positron ?

Warum sind es zwei Photonen, die nach der Paarzerstrahlung
davonfliegen? und nicht bloß 1 Stück, das dann die gesamte
Masse 2mc^2 wegtragen würde?

Na?

Weil nur durch 2 antiparellel wegfliegende Photonen der Gesamtimpuls nach dem Vorgang gleich NULL sein kann !?

[lego]

Hallo Stefan,

Warum sind es zwei Photonen, die nach der Paarzerstrahlung
davonfliegen? und nicht bloß 1 Stück, das dann die gesamte
Masse 2mc^2 wegtragen würde?

Na?

Es sind zwei oder drei, je nach Ausrichtung des Spins von e⁺ & e^- zueinander,

natuerlich nur, wenn zwischen Paarbildung und Zerstrahlung evtl. WW mit dritten Teilchen stattfinden, kann es zum Zerfall mit 3 Photonen kommen,

viele gruesse, peter

[Stefan_Neumeier_a340d1]

Hallo Nico,

D.h. also, dass ich nach der gegenseitigen Vernichtung von
Elektron und Positron 2 Photonen mit jeweils dem Impuls
p=W/c=m0*c^2/c=m0*c habe ?

…nicht ganz: Es ist W = E. E ist die Energie von genau einem der beiden Leptonen (e- oder e+).

Da beide Photonen diametral wegfliegen, ist der Gesamtimpuls Null. Damit ist der Impulserhaltung genügt. (Der Impuls eines einzelnen Photons kann im Bedarfsfalle verschieden sein vom Impuls eines der beiden Leptonen.)

Der Prozeß hat die Gesamtenergie 2E. Diese wird auf die Photonen verteilt, und weil die beiden Photonen gleichen Impulsbetrag haben, bekommen sie auch gleiche Energien zugeteilt: Jedes Photon hat die Energie E.
(und damit den Impuls E/c, der vom ursprünglichen Leptonenimpuls abweichen wird).

Weil nur durch 2 antiparellel wegfliegende Photonen der
Gesamtimpuls nach dem Vorgang gleich NULL sein kann !?

Ja!

Dann kann ja nüschts schiefgehen mit’m Abi!

Gruß
Stefan

[Stefan_Neumeier_a340d1]

grübel
Hallo Peter,

Es sind zwei oder drei, je nach Ausrichtung des Spins von
e⁺ & e^- zueinander,

mit dreien…

die Argumentation mit den Spins hat 'was - wenn die Spins der Leptonen parallel sind, müßte sich der Gesamtspin irgendwie bei den Photonen wiederfinden…man könnte weiter nachdenken…

aber: wohin soll das dritte Photon hinfliegen? *grübel*

natuerlich nur, wenn zwischen Paarbildung und Zerstrahlung
evtl. WW mit dritten Teilchen stattfinden, kann es zum Zerfall
mit 3 Photonen kommen,

ach so: drei Photonen *nur* wenn es noch ein drittes Teilchen gibt (…dann hätte man auch gleich die passende Raumrichtung für das 3. Photon) ?

Gruß
Stefan

[lego]

Hallo Stefan,

wenn sich ein e⁺e^--Paar bildet, so sollte ihr Spin eigentlich antiparallel sein, so dass der Gesamtspin Null ist, mir faellt jetzt kein Beispiel ein, wo es nicht so waere.

Es sind zwei oder drei, je nach Ausrichtung des Spins von
e⁺ & e^- zueinander,

mit dreien…

die Argumentation mit den Spins hat 'was - wenn die Spins der
Leptonen parallel sind, müßte sich der Gesamtspin irgendwie
bei den Photonen wiederfinden…man könnte weiter
nachdenken…

aber: wohin soll das dritte Photon hinfliegen? *grübel*

natuerlich nur, wenn zwischen Paarbildung und Zerstrahlung
evtl. WW mit dritten Teilchen stattfinden, kann es zum ::Zerfall
mit 3 Photonen kommen,

Das war so gemeint, dass wir ein ⁺e^--Paar mit antiparallem Spin haben. Nun koennte es aber mit einem dritten Teilchen oder gar noch mit mehr Teilchen zu WW kommen, so dass der Spin zueinander parallel wird.

ach so: drei Photonen *nur* wenn es noch ein drittes Teilchen
gibt (…dann hätte man auch gleich die passende Raumrichtung
für das 3. Photon) ?

In jedem Fall, wenn wir ein ⁺e^--Paar mit antiparallelem Spin haben, kommt es bei Annihilation zu genau zwei entgegengesetzt voneinander wegfliegenden Photonen im Ruhesystem mit antiparallem Spin.

Aber wenn wir ein ⁺e^--Paar mit parallelem Spin haben, kommt es bei Annihilation zu genau genau 3 Photonen, wo 2 Photonen zueinander antiparallelem Spin haben und das dritte Photon „quasi“ den Spin der beiden vormals zueinander antiparallen Spins des ⁺e^--Paar.

also:
e-spin=±1/2
photonenspin=±1

entweder:
1/2-1/2=1-1=0

oder:
1/2+1/2=1-1+1=1

gesamtenergier, drehimpuls und impuls erhalten, damit kann man auch die richtung des dritten photons bestimmen im zweiten fall, wenn man die richtung der beiden anderen kennt, die dann waehlbar ist,

viele gruesse, peter