Es gibt n komplexe Zahlen, die die Gleichung (1) erfüllen, das habe ich verstanden.
Doch was ist mit der folgenden Gleichung.
z = \sqrt[n]{a}
Beispiel:
z = 3 + 4 \cdot i
z = 5 \cdot cis(53.13 + k \cdot 360)
Die dritte Wurzel aus z
\sqrt[3]{z}=\sqrt[3]{5} \cdot cis \cdot (\frac{53.13 + k \cdot 360}{3})
Wenn ich dies nun löse, erhalte ich die folgenden 3 Lösungen:
z1= 1.6289 + 0.5202i
z2= -1.2650 + 1.1506i
z3=-0.3640-1.6708i
Der Taschenrechner liefert aber nur Lösung 1.
Meine Vermutung:
Wie in den reellen Zahlen gilt auch in den komplexen Zahlen, dass das Wurzelziehen die eingeschränkte Umkehroperation des Potenzierens ist, es existiert nur eine Lösung.
Frage:
Wie ist die n-te Wurzel aus einer komplexen Zahl mit Exponent 1 definiert, bzw. wie weiss ich welche der 3 Lösungen im Beispiel die richtige ist?
\sqrt[n]{z}=?
Vielen, vielen Dank für eure Hilfe und Denkanstösse
erstmal sind alle drei Lösungen „richtig“. Es gibt kaum Anwendungen, wo man nur eine braucht.
Wenn man sich aber, wie beim Taschenrechner, für eine Lösung entscheiden muss, dann nimmt man oft diejenige, die den kleinsten absoluten Winkel hat. Man könnte noch alternativ sich für diejenige entscheiden, die am dichtesten an der reellen Achse liegt, damit man auch für dritte Wurzeln aus negativen Zahlen was sinnvolles erhält.
In jedem Fall sind die so entstehenden Funktionen an recht willkürlich gewählten Stellen unstetig, obwohl man sie immer durch eine der anderen Lösungen stetig fortsetzen könnte. Wenn diese stetige Fortsetzung wichtig ist, muss man immer die Gesamtheit der Lösungen betrachten.
Da ist aber etwas, was ich nicht verstehe, nämlich folgendes. Wie kann eine Funktion mehr als 2 Lösungen haben?
Ist es so, dass das Radizieren in den komplexen Zahlen einfach nicht mehr eindeutig bestimmt ist.
Es handelt sich also um eine Relation und nicht um eine Funktion?
In jedem Fall sind die so entstehenden Funktionen an recht
willkürlich gewählten Stellen unstetig, obwohl man sie immer
durch eine der anderen Lösungen stetig fortsetzen könnte. Wenn
diese stetige Fortsetzung wichtig ist, muss man immer die
Gesamtheit der Lösungen betrachten.
Ich habe das Gefühl, die Antwort auf meine Frage hast du mir in diesem Abschnitt schon gegeben - ich versteh da leider nur Bahnhof.
Zur Bestimmung der n-ten Wurzel aus einer komplexen Zahl z schreibt man diese zunächst in Polarkoordinaten auf:
z=|z|\exp(i\varphi)
Da die komplexwertige Exponentialfunktion periodisch ist, kannst du zu dem Argument beliebige Vielfache von i*2*pi addieren ohne ihren Wert zu ändern:
z=|z|\exp(i\varphi+i2\pi k)\quad;\quad k\in Z
Das Ziehen der n-ten Wurzel ist gleichbedeutend mit Setzen des Exponenten 1/n:
\sqrt[n]z=z^{1/n}=|z|^{1/n}\left(e^{i\varphi+i2\pi k}\right)^{1/n}=|z|^{1/n}\exp\left(\frac{i\varphi}{n}+i\frac{2\pi k}{n}\right)\quad;\quad k\in Z
Noch ist k aus Z, aber wenn du genau hinschaust, erkennst du, dass sich für k=0 und k=n dasselbe Ergebnis ergibt, ebenso für k=1 und k=n+1… Hier wirkt sich die 2pi-Periode der komplexen Exponentialfunktion aus. Alle unterschiedlichen Ergebnisse erhälst du, wenn du k von 0 bis n-1 laufen lässt. Alle anderen k aus Z lassen sich auf das Intervall von 0 bis n-1 zurück führen. Also lautet die n-te Wurzel einer komplexwertigen Zahl z:
Folgendes war meine ursprüngliche Idee:
Die Lösungen aus \sqrt[2]{4} ist 2 und nur 2,
obwohl (-2)2 und 22 4 ergibt.
Ich dachte darum, dass in den komplexen Zahlen was Ähnliches gilt.
Dem ist also nicht so, und die Wurzel aus einer komplexen Zahl kann mehrere Lösungen haben.
Die Wurzelfunktion wird vereinbarungsgemäß als nicht-negativ betrachtet, in dem Sinne, dass der Taschenrechner immer einen Wert größer oder gleich 0 ausgibt. Daher schreibt man besser hoch 1/2, wenn man die Wurzelfunktion meint:
4^{1/2}=2
Denn allgemein gilt:
a^x=e^{x\cdot\ln a}\quad;\quad a>0
Jedoch ist die Wurzel von 4 sowohl +2 als auch -2. Daher schreibt man beim Wurzelziehen die beiden Vorzeichen in der Regel mit:
x^2=4\Longrightarrow\sqrt[2]x=\pm|4|^{1/2}=\pm2
Das kommt auch raus, wenn man die 4 als komplexwertige Zahl betrachtet:
Dummerweise wirft man die Wurzelfunktion und die Wurzel oft durcheinander. Und genau das hat dich verwirrt. Die Wurzelfunktion einer reellen Zahl liefert immer genau ein nicht-negatives Ergebnis. Die Wurzel an sich kann aber mehrere unterschiedliche Werte annehmen.
Dummerweise wirft man die Wurzelfunktion und die Wurzel oft
durcheinander. Und genau das hat dich verwirrt. Die
Wurzelfunktion einer reellen Zahl liefert immer genau ein
nicht-negatives Ergebnis. Die Wurzel an sich kann aber mehrere
unterschiedliche Werte annehmen.
Genau das wars, das verwirrte mich eigentlich schon lange. Vielen Dank für deine Hilfe - dafür gibts ein Sternchen.
