Random Walk

Wissenschaft Mathematik
#1

Hola,

Wir gehen von einem 1D-Koordinatensystem aus in dem man nur nach rechts oder nach links laufen kann. Wir starten bei 0. Ein nach rechts bedeutet +1 ein nach links bedeutet -1.

Ob wir nach rechts oder links laufen entscheidet ein fairer Münzwurf.

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, wenn ich nun bei Position +1 bin wieder auf Position 0 zurückzugelangen?

Sie beträgt:
P=(1/2)+(1/2)*Q
Q ist hier die Wahrscheinlichkeit wie hoch die wahrscheinlichkeit ist, wenn man auf +2 landet, wiederum zu Punkt 0 zurückzugelangen.

Jetzt die Frage: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, wenn ich bei Position +2 starte, wieder bei 0 anzukommen?

Q=P² also:
P=(1/2)+(1/2)*P²

Wenn ich das jetzt auffriemel und umstelle, komme ich auf:
(1-P)²=0

Und man sieht: Verblüffenderweise ist P=1.

Aber: Was bedeutet das denn jetzt?
Das bedeutet doch, wenn ich bei +2 anfange, dass ich mit absoluter Sicherheit wieder zu 0 zurückgelange.

Aber das ist ja nicht wirklich sicher…
Irgendwas scheine ich nicht verstanden zu haben und kann nur hoffen, dass ihr seht, was es sein könnte.
Thanks.

#2

Hi,

hab grad leider wenig Zeit und versuche es mal mit einer Kurzantwort.

Egal an welcher Position du dich aktuell befindest, es gibt immer eine Wahrscheinlichkeit in der Zukunft an einer bestimmten anderen Position zu sein. Z. B. wieder bei 0 zu sein.

Wenn die Anzahl der Versuche/Schritte unendlich ist, ist es auch egal, wie wahrscheinlich das Erreichen der Zielposition ist. Bei unendlichen Versuchen, wird sie irgendwann auf jeden Fall erreicht.

Ich hoffe mal, du kommt mit dieser formellosen Erklärung weiter…

#3

Hallo

Ohne Formeln muss eine zurückgelegte Strecke auch wieder in Gegenrichtung gelaufen werden. Von 2 auf 0 in zwei Schritten ergibt 25% als Gesamtwahrscheinlichkeit: 2 -> 1 (50%) und 1 -> 0 (50%)
Da Unabhängigkeit gilt, errechnet man 0,5 * 05 = 0,25

mfg M.L.

Jetzt die Frage: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, wenn ich
bei Position +2 starte, wieder bei 0 anzukommen?

#4

Hi,

Von 2 auf 0 in zwei Schritten
ergibt 25% als Gesamtwahrscheinlichkeit: 2 -> 1 (50%) und 1 ->
0 (50%)
Da Unabhängigkeit gilt, errechnet man 0,5 * 05 = 0,25

Ja, das ist die W’Keit um direkt, also ohne Umwege, von 2 nach 1 nach 0 zu kommen. Es gibt aber (unendlich) viele andere Möglichkeiten, z. B. zuerst nach 3, nach 2, nach 1, nach 0.

#5

p(n) = Wahrscheinlichkeit, dass man sich in Zustand n befindet.

Ohne obere oder untere Schranke gilt schlicht:
p(n)=0,5*p(n-1)+0,5*p(n+1)

Dies gilt für alle Zustände.
Dies kann man beliebig zusammen bauen zB:
p(2)=0,5*p(1)+0,5*p(3)
p(1)=0,5*p(0)+0,5*p(2)
p(0)=0,5*p(-1)+0,5*p(1)
Jetzt kannst Du beliebig einsetzen.

Sollte es doch Schranken geben, dann gilt für die ersten und letzten Zustände: (x ist der allererste ganz links; y der letzte ganz rechts)
p(x)=0,5*p(x+1)
p(x+1)=1*p(x)+0,5*p(x+2)
p(y)=0,5*p(y-1)
p(y+1)=0,5*p(y-2)+1*p(y)

#6

Zufallslauf
So wie ich das sehe, hängt die Wahrscheinlichkeit auch von der Anzahl der zu gehenden Schritte ab. Wenn man beispielsweise bei 2 startet und eine ungerade Anzahl von Schritten läuft, ist die Wahrscheinlichkeit, auf 0 zu landen, ziemlich gering…

mfg,
Che Netzer

PS: 1D-Koordinatensystem…? Zahlenstrahl?

#7

…zum 3D-Sys…
Eine weiter Frage, die ich mir stelle, ist, warum in einem 3D Koordinatensystem, die Wahrscheinlichkeit an dem Urpsrungspunkt wieder anzugelangen nur 35% beträgt. Hier kann man dann natürlich sich in drei verschiedene Achsen bewegen.

Aber, warum kann man nicht hier auch bei jedem Random Walk irgendwann in der Zukunft bei unendlich langer Durchführung nicht wieder zum Ursprungspunkt zurück gelangen? (in 65% der Falle kommt man ja nie mehr wieder zum Ursprungspunkt zurück). Ich verstehe nicht, warum die Logik bei eine 3D-Koordinatensystem zusammenbricht, welche für 1D und 2D Systeme gilt…