hallo an alle,
wie ermittel ich, ob eine 4*4 Matrix den rang vier hat? muss ich dazu nullen unter-/oberhalb der diagonale erzeugen und dann die determinate ausrechnen, oder gibt es auch eine andere möglichkeit?
gruß josch
Hallo Josch,
die Überprüfung der Vollrangigkeit einer Matrix (bei 4x4 eben, ob sie den Rang 4 hat) funktioniert meines Wissens nach wirklich am einfachsten über die Determinante: Ist diese ungleich 0, so hat die Matrix vollen Rang. Die übliche Determinantenberechnung für n x n-Matrizen erfolgt nach einem der bekannten Schemata, z. B.:
a) Sarrusregel – ist in jedem einigermaßen empfehlenswerten Oberstufen-Mathematikbuch enthalten.
b) Laplace-Entwicklungssatz
- Entwicklung der Determinante nach Spalte oder Zeile mit möglichst einfachen Zahlen, d.h. möglichst viele Nullen.
- Erstes Element der ausgewählten Spalte oder Zeile (oberstes oder am weitesten links stehendes Element) mal Determinante der Untermatrix, die entsteht, wenn man die Zeile und die Spalte aus der Ursprungsmatrix herausnimmt, in der sich das aktuelle Element befindet. Sollte die Untermatrix größer als 2 x 2 sein, muss bei diesen Untermatrizen wieder eines der beiden Schemata angewendet werden. Bei 2 x 2 Matrizen lautet der geschlossene Ausdruck für D=(a11*a22)-(a21*a12), wobei a21 das erste Element in der 2. Zeile darstellt. Zu Beachten ist dabei noch der Wechsel der Vorzeichen der Elemente unserer Entwicklungsspalte. Zur Vereinfachung hier eine improvisierte Vorzeichenmatrix:
(+ - + - …)
(- + - + …)
(+ - + - …)
…
(… ) - Beim nächsten Element muss logischerweise das Vorzeichen gewechselt und die Prozedur erneut durchgeführt werden.
- Am Ende erhält man aus der Summe der Produkte die Determinante
- Bsp. Matrix:
(1 0 4 2)
(0 4 3 2)
(2 1 0 2)
(1 1 2 0)
Lösung: Entwicklung nach der 4. Zeile (Produkte mit Null wurden weg gelassen) D = (-1)*(1*((4*2)-(3*2))+2*((0*3)-(4*4)))+1*(1*((3*2)-(0*2))+2*((4*2)-(3*2)))-2*(1*((4*2)-(1*2))+2*((0*2)-(4*2))
[ohne Gewähr]
Grüße
Robrobrob
hallo,
schon mal danke!
ich weiß nicht, ob ich gerade auf dem schlauch stehe.
frage: welchen rang hat folgende matrix?
1 -3 6 2
1 3 -2 -2
0 -6 8 4
4 3 4 -2
ich habe nun in der ersten spalte 3 nullen erzeugt und entwickelt:
0 0 8 4
1 3 -2 -2
0 -6 8 4
0 -9 12 6
nun kann ich nach der sarrus-regel die det(a) ausrechnen.
die det(a)=0
wie rechne ich nun weiter? heißt mein erstes ergebnis, dass der rang nicht 4 sein kann?
gruß josch
Wenn Du wirklich nur das überprüfen willst, dann kannst Du einfach so vorgehen, als ob Du die Einheitsmatrix erzeugen willst.
Wenn sich dann für die untere(n) Zeile(n) nicht nur Nullen ergeben, hat die Matrix den Rang 4.
Gruß sannah
Falls du dich wirklich in der unangenehmen Situtation befindest, den Rang von Hand ausrechnen zu müssen, empfehle ich die MAtrix durch elementare Zeilen- und Spaltenumjformungen auf Diagonalgesalt zu bringen. Damit erkennst du die Anzahl der linear unabhängigen Spalten bzw. Zeilen, was dem Rang der MAtrix entspricht.
Gruß
Olver
[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]
Hallo,
ich habe nun in der ersten spalte 3 nullen erzeugt und
entwickelt:
0 0 8 4
1 3 -2 -2
0 -6 8 4
0 -9 12 6
Hier musst Du nicht mehr weiterrechnen (natürlich darfst du auch die det ausrechnen 
). Nimm Zeilte 4*2/3 und zieh sie von Zeile 3 ab. => Rang 3.
ciao
ralf
apropos determinante
wie ermittel ich, ob eine 4*4 Matrix den rang vier hat? muss
ich dazu nullen unter-/oberhalb der diagonale erzeugen und
dann die determinate ausrechnen, oder gibt es auch eine andere
möglichkeit?
die determinante auszurechnen wäre für dieses Problem etwas overkill, aber zumindest eine Lösung.
ist die Determinante eine n x n - Matrix ungleich Null, dann und nur dann, hat die Matrix den Rang n.
die Matrix auf Dreiecksform bringen ist aber einfacher, als eine Determinante auszurechen.
gruß unimportant