Rang einer Matrix

Wissenschaft Physik
1

Hallo Mathematikinteressierte,

ich habe gleich 2 Fragen:

Ich habe letzte Woche in meinem Buch über lineare Algebra gelesen, dass der Rang einer Matrix nur dann zu erkennen ist, wenn man sie in die erweiterte Dreiecksform bringt.

Mir ist zwar klar, dass man eine Gleichung mit 3 Unbekannten nur dann lösen kann, wenn man auch drei verschiedene Gleichungen hat, aber ich verstehe nicht warum die Matrix unbedingt in die erweiterte Dreiecksform zu bringen ist um zu erkennen, dass die 3 Gleichungen nicht teilweise identisch sind.

Mit diesem Beispiel versuche ich meine Frage zu präzisieren:

a b c = L
1 1 1 = 6
3 1 0 = 5
0 0 1 = 3

Warum kann ich aufgrund der obigen Matrix nicht erkennen, dass das Lineare Gleichungssystem einddeutig lösbar ist sondern erst in der erweiterten Dreiecksform?

Wenn mir jemand die obige Frage beantwortet wäre ich sehr dankbar
wenn er mir auch die folgende nicht direkt mathematische aber
wahrscheinlich noch viel schwierigere Frage beantworten kann:

Jeder der sich mit Mathematik beschäftigt hat wohl irgendwann das Problem dass er etwas nicht versteht. Mir passiert das recht häufig.
Über die von mir gestellte obige Frage 1 habe ich einige Stunden nachgedacht, aber ich war bis jetzt erfolglos.
Mich würde interssieren wie Menschen die ein gutes Mathematikverständniss haben vorgehen, wenn sie auf ein mathematisches Problem stossen.
Ich z.B. denke nach und probiere dann experimentell was aus und manchmal weiss ich dann auf einmal gar nicht mehr was ich mit dem Experiment eigentlich bezweckt habe.
Deshalb stelle ich die folgende Frage:

Habt ihr so etwas wie eine bestimmte Vorgehensweise wenn ihr auf ein mathematisches Problem stoßt?

Ich bin mir bewusst dass es für mathematische Probleme höchstwahrscheinlich kein Schema „X“ gibt, aber vielleicht hat ja trotzdem jemand einen Tip für mich.

Vielen Dank für eure Hilfe

Bertram

2

Hallo,
ein allgemeines Schema gibt es eigentlich nicht *g

Meinst Du mit teilweise identischen Gleichungen etwa die lineare abhängigkeit (man kann einen konst. Faktor rauskürzen)?
Durch bildung der Determinanten läßt sich sowas ja schnell ermitteln wenn man’s nicht gleich sieht. Und das ist auch schon das Problem Mensch:Maschine. Manche Menschen „sehen“ soetwas sofort, andere später und Computerprogramme gehen immer nach Schema F.

Aber wenn ich mal irgendwo nicht weiterkomme frag ich auch immer andere - das hilft meißt die Denkrichtung zu ändern auf die man sich schon total versteift hat :wink:

3

Hallo Bertram,

aber ich verstehe nicht warum die Matrix
unbedingt in die erweiterte Dreiecksform zu bringen ist um zu
erkennen, dass die 3 Gleichungen nicht teilweise identisch
sind.

die Gleichungen müssen nicht identisch sein, es genügt, wenn ein paar (zwei oder mehr) von ihnen linear abhängig voneinander sind. Selbst die lineare Abhängigkeit zweier Gleichungen sieht man nicht sofort. Beispiel:

Sind die beiden Gleichungen

356 x + 6723 y = 1902
2492 x + 47061 y = 1331 8

linear abhängig oder nicht?

Und wie ist es mit diesen beiden Gleichungen:

356 x + 6723 y = 1902
2492 x + 47061 y = 1331 4

Also ich zumindest muß zur Klärung der Frage den Taschenrechner bemühen.

Mit diesem Beispiel versuche ich meine Frage zu präzisieren:

a b c = L
1 1 1 = 6
3 1 0 = 5
0 0 1 = 3

Warum kann ich aufgrund der obigen Matrix nicht erkennen, dass
das Lineare Gleichungssystem einddeutig lösbar ist sondern
erst in der erweiterten Dreiecksform?

Wie ist es mit diesen beiden Gleichungssystemen:

a)
 -1 -4 -3 | 3 
 1 -3 -2 | 4 
 2 1 1 | -1

und

b)
 -1 -4 -3 | 3 
 1 -3 -2 | 4 
 2 1 1 | 8

Eines davon ist eindeutig lösbar, das andere nicht. Ist letzteres mehrdeutig lösbar oder unlösbar? Die Antwort auf diese Fragen kann man den Systemen nicht direkt ansehen. Um das herauszufinden, muß man rechnen, und das Ziel bei dieser Rechnerei ist, die Matrix auf Dreiecksform zu bringen. Dann erst kann man unmittelbar sehen, was los ist, sprich: den Rang anhand der Anzahl der Zeilen erkennen, die ausschließlich Nullen enthalten.

Mit freundlichem Gruß
Martin

4

Hallo Martin, Hallo Cyberwulf

eure Antworten muss ich mir heute Abend nach der Arbeit erst einmal in Ruhe durch den Kopf gehen lassen. Aber auf jeden Mal vielen Dank für eure Hilfe.

Beste Grüsse

Bertram

5

Hallo Bertram!

ich habe gleich 2 Fragen:

Die erste Frage kann ich Dir „leider“ nicht beantworten…

Ich habe letzte Woche in meinem Buch über lineare Algebra
gelesen, dass der Rang einer Matrix nur dann zu erkennen ist,
wenn man sie in die erweiterte Dreiecksform bringt.

…wenngleich mir die Antwort von Martin eingeleuchtet hat.
(Ähnliche Probleme kenne ich, wenn ich mit Excel hantiere, und feststelle, dass ich einen dritten Bezugspunkt, z.B. ein berechnetes Datenfeld brauche, um einen eindeutigen Wert in ein Ergebnisfeld zu schreiben.)

Jeder der sich mit Mathematik beschäftigt hat wohl irgendwann
das Problem dass er etwas nicht versteht. Mir passiert das
recht häufig.
Über die von mir gestellte obige Frage 1 habe ich einige
Stunden nachgedacht, aber ich war bis jetzt erfolglos.
Mich würde interssieren wie Menschen die ein gutes
Mathematikverständniss haben vorgehen, wenn sie auf ein
mathematisches Problem stossen.
[…]

Was Du beschreibst, ist kein mathematisches Problem an sich. Und es hat auch nichts mit Logik zu tun. Es ist viel mehr eine Blockade, sei es im Denken oder wie auch immer. Kommt mir auch hin und wieder unter, z.B. bei der Arbeit am Computer. Das passiert halt durch das eigene „Fixieren auf das Problem“.

Ich löse das, in dem ich mir sage: „Gut, ‚dies-oder-das‘ ist das Problem, und/aber die Lösung kommt schon auf mich zu.“ und dazu stelle mir das Problem als demnächst gelöst vor, UND: beschäftige mich mit etwas anderem, quasi zur Ablenkung und zum Locker-machen. – Das funktioniert recht gut für mich. Beim zweiten Anlauf finde ich dann die Ursache des Problems sofort oder weiss die Lösung davon prompt.

Hoffe geholfen zu haben,

CU DannyFox64

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Hallo Bertram,
Wie Martin bereits bemerkt hat: ohne zu rechnen, nur vom Hinschauen wird es (außer bei sehr einfachen GlgSystemen) nicht gehen.
Du kannst aber auch den Weg über das Eigenwertproblem gehen, schon gehört? A.x=p.x (A ist deine Matrix, x der Eigenvektor und p der Eigenwert) - daraus ergibt sich das sog. Charakteristische Polynom der Matrix. Dieses löst du und bestimmst die Eigenvektoren. Die Anzahl der lin. uah. EV ergeben den Rang deiner Matrix.
Cu Clemens

7

Wie Clemens es schon sagte…

Der Rang einer Matrix (mathematisch z.B.: rg(A)=c ,c elem N+) ist maximal dem Minimum von Spalten- und Zeilenrang

Bsp: (1) Eine Matrix 2 x 3 Matrix A kann höchsten den Rang 2 haben
(2) Eine Matrix 7 x 1 Matrix A kann höchsten den Rang 1 haben
(in diesem Fall ist der Rang gleich 1)

Du nimmst die kleinere Zahl und untersucht lineare Abhängigkeit der entsprechenden Spalten- bzw. Zeilenvektoren.
In Beispiel (1) konzentriest Du Dich auf die Zahl 2, die links steht, somit 2 Zeilen hat. Diese 2 Zeilen sind Deinen Zeilenvektoren. Und denne überprüfen, ob lin.abh.,dann rg(a)=1,oder lin.unabh,dann rg(A)=2