Liebe wer-weiss-was Experten,
ich lerne gerade Mathe und komme bei folgender Aufgabe nicht weiter:
Bestimmen sie den Rang des Systems der folgenden drei Vektoren:
a= (2,-1,0,1), b= (0,1,3,-2), c= (2,-3,-6,5)
Kann mir bitte jemand erklären, was ich hier machen muss und warum???
Vielen, vielen lieben Dank im Voraus
Liebe Grüße
Janina
Hallo,
also der Rang ist im Prinzip die Dimension des Raumes, den du mit deinen Vektoren aufspannen könntest, da du nur 3 Stück hast also maximal 3, um zu testen ob es nicht vielleicht nur 2 oder 1 sind, musst du die Vektoren auf lineare Unabhängigkeit überprüfen, und das wars auch schon 
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Hallo,
also der Rang ist im Prinzip die Dimension des Raumes, den du
mit deinen Vektoren aufspannen könntest, da du nur 3 Stück
hast also maximal 3, um zu testen ob es nicht vielleicht nur 2
oder 1 sind, musst du die Vektoren auf lineare Unabhängigkeit
überprüfen, und das wars auch schon
Erstmal vielen Dank für die schnelle Antwort, aber können sie mir das bitte anhand eines Beispieles deutlich machen?
MFG Janina
Hallo,
werds versuchen so einfach wie möglich zu beschreiben, ich weiß aber nicht wie weit du fit bist mit Vektorrechnung, drum frag einfach nochmal nach falls es zu schnell war.
also Vektoren kannst du dir als Pfeile im Raum vorstellen, wenn du drei Pfeile flach auf ein Blatt Papier legst(nicht parallel), und die Länge, und Lage (nicht die Richtung) der Pfeile beliebig änderst kannst du jeden Punkt in der Ebene erreichen. eine Ebene hat 2 Dimensionen also hätten deine Vektoren den Rang 2.
wenn du nun einen der Pfeile aus dieser Ebene nach oben oder unten rausschauen lässt, und wieder die Länge, und Lage beliebig änderst, kannst du Jeden Punkt im Zimmer (3 dimensionalen Raum) erreichen. Deine Vektoren spannen also den 3 dimensionalen Raum auf und der Rang ist 3.
In deiner aufgabe hast du ja nur 3 Vektoren, also kannst du auch nicht mehr als 3 Dimensionen aufspannen, wäre auch mit der Bildlichen Vorstellung kaum mehr machbar 
Nun musst Du also überprüfen, ob diese Vektoren aus einer Linie einem Blatt oder in alle 3 Richtungen verteilt sind. Das nennt sich lineare unabhängigkeit.
Das kann man einfach mit Hilfe von Gleichungssystemen wiefolgt berechnen. Ich führe es an einem einfacheren Bsp vor mit den Vektoren (1,2) und (2,1)
Ansatz:
1 2 0
a\*( ) + b\*( ) =( )
2 1 0
daraus ergeben sich 2 Gleichungen mit 2 unbekannten (in deinem Fall 4Gleichungen mit 3 Unbekannten) durch zeilenweises ablesen
1. a\*1 + b\*2 = 0
2. a\*2 + b\*1 = 0
Ist dieses System nicht lösbar, wie hier, dann sind alle Vektoren linear unahhängig und der Rang ist "voll" also in meinem Beispiel bei 2 Vektoren 2!
Wenn sich aus diesem Gleichungssytem eine Lösung ergibt, dann bedeutet das, das du aus 2 der Vektoren den dritten zusammenbauen kannst (also 2\*1.Vektor + 7\*2.Vektor = 5\*3.Vektor z.B)
In diesem Fall fällt dir ein Rang und ein Vektor schon mal weg, und du fängst mit den beiden übrigen Vektoren wieder von vorne an.
Gibt es keine Lösung bleibt der Rang bei 3-1=2, sonst fällt noch einer weg, und du hast 3-1-1=1.
Ich hoffe das war jetzt nicht zu ausführlich :wink:
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Hallo.
Bestimmen sie den Rang des Systems der folgenden drei
Vektoren:
a= (2,-1,0,1), b= (0,1,3,-2), c= (2,-3,-6,5)
Die bereits erfolgte Erklärung mag zwar richtig sein, aber es geht bestimmt auch etwas einfacher . Z.B. damit: http://www.mathe-online.at/materialien/klaus.berger/…
Seite 5-7
HTH
mfg M.L.
Nur eine kleine Anmerkung:
[…]
Nun musst Du also überprüfen, ob diese Vektoren aus einer
Linie einem Blatt oder in alle 3 Richtungen verteilt sind. Das
nennt sich lineare unabhängigkeit.Das kann man einfach mit Hilfe von Gleichungssystemen wiefolgt
berechnen. Ich führe es an einem einfacheren Bsp vor mit den
Vektoren (1,2) und (2,1)Ansatz:
1 2 0
a*( ) + b*( ) =( )
2 1 0daraus ergeben sich 2 Gleichungen mit 2 unbekannten (in deinem
Fall 4Gleichungen mit 3 Unbekannten) durch zeilenweises
ablesen
- a*1 + b*2 = 0
- a*2 + b*1 = 0
Ist dieses System nicht lösbar, wie hier, dann sind alle
Vektoren linear unahhängig und der Rang ist „voll“ also in
meinem Beispiel bei 2 Vektoren 2!
Lösbar ist dieses Gleichungssystem auf jeden Fall, nämlich mit der trivialen Lösung a=0; b=0.
Gemeint hat Tranquilla sicherlich: ‚Hat dieses System nur die triviale Lösung‘.
Wenn sich aus diesem Gleichungssytem eine Lösung ergibt, dann
bedeutet das, das du aus 2 der Vektoren den dritten
zusammenbauen kannst (also 2*1.Vektor + 7*2.Vektor =
5*3.Vektor z.B)In diesem Fall fällt dir ein Rang und ein Vektor schon mal
weg, und du fängst mit den beiden übrigen Vektoren wieder von
vorne an.Gibt es keine Lösung bleibt der Rang bei 3-1=2, sonst fällt
noch einer weg, und du hast 3-1-1=1.Ich hoffe das war jetzt nicht zu ausführlich
Alternativ kann man (wenn man ihn kennt) auch den Gauß-Algorithmus benutzen. Die Anzahl der nicht-leeren Zeilen ergibt dann den Rang.
Den Eintrag im Wikipedia zum Gauß-Algorithmus findest Du hier: http://de.wikipedia.org/wiki/Gau%C3%9F_Algorithmus
Gruß Yelmalio
Ich halte die Beispiele auf der von Dir genannten Seite für nicht ausreichend. Die Bemerkungen sind zwar richtig, aber es wird nicht klar, dass es im Allgemeinen nicht ausreicht, wenn man Paaren von Vektoren betrachtet. Um den Rang zu bestimmen, muss man das gesamte Gleichungssystem betrachten.
Zu Deiner Aufgabe im Speziellen:
Du betrachtest das Gleichungssystem x*a+y*b+z*c=0
(x,y,z sind reelle Zahlen und 0 der Nullvektor)
Das matrizenschema dazu sieht wie folgt aus:
2 0 2 | 0
-1 1 -3 | 0
0 3 -6 | 0
1 -2 5 | 0
Durch (erlaubte) Zeilenumformungen (Addition/Subtraktion eines Vielfachen einer Zeile zu einer anderen, Multiplikation einer Zeile mit einer Zahl)
bekommst Du:
2 0 2 | 0
0 1 -2 | 0 (Addition der hälfte der ersten zur zweiten Zeile)
0 3 -6 | 0
0 -1 2 | 0 (Addition der (ursprünglich) zweiten zur vierten Zeile)
und im nächsten Schritt:
2 0 2 | 0
0 1 -2 | 0
0 0 0 | 0 (Addition des dreifachen der zweiten zur dritten Zeile)
0 0 0 | 0 (Addition der zweiten zur vierten Zeile)
Hier ist der Gauß-Algorithmus abgeschlossen und Du erhälst als Rang 2 (für zwei Zeilen in denen nicht nur Nullen stehen.)
Ich hoffe, dass Du die Rechnung nachvollziehen kannst.
Gruß Yelmalio
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Hi,
Lösbar ist dieses Gleichungssystem auf jeden Fall, nämlich mit
der trivialen Lösung a=0; b=0.
Gemeint hat Tranquilla sicherlich: ‚Hat dieses System nur die
triviale Lösung‘.
ja hast ja recht, ich geh immer davon aus, dass jeder selber soweit denk, aber formal hast du 100% Recht
Alternativ kann man (wenn man ihn kennt) auch den
Gauß-Algorithmus benutzen. Die Anzahl der nicht-leeren Zeilen
ergibt dann den Rang.
Den Eintrag im Wikipedia zum Gauß-Algorithmus findest Du hier:
http://de.wikipedia.org/wiki/Gau%C3%9F_Algorithmus
würde ich auch bevorzugen, aber die Fragestellerin wollte es ja so einfach wie möglich