Rationale Zahlen sind die, die man als Bruch darstellen kann…Es müssen ganze Zahlen sein, und die zahl durch die man teilt darf nicht null sein, oder?
z.B ich tippe in den Taschenrechner ein: 1 durch 9 = 0,11111111111
und wenn ich das umwandle in Brüche dann steht im Taschenrechner: 1/9
Doch wenn ich jetz 98888 durch 6555 in den Taschenrechner eintippe, kommt 15,08588863 raus…und wenn ich die zahl in einen bruch umwandeln will, dann klappt das nicht…der taschenrechner zeigt immer noch dieselbe zahl an…
ist nun 98888/6555 eine irrationale zahl?
Doch wenn ich jetz 98888 durch 6555 in den Taschenrechner
eintippe, kommt 15,08588863 raus…und wenn ich die zahl in
einen bruch umwandeln will, dann klappt das nicht…der
taschenrechner zeigt immer noch dieselbe zahl an…
ist nun 98888/6555 eine irrationale zahl?
nein, 98888/6555 ist auch eine rationale Zahl. Wenn Dein Taschenrechner die 15,08588863 nicht wieder in einen Bruch zurückverwandeln kann, liegt das nur daran, dass er nicht genug „Hirnzellen“ (= Speicherzellen für die interne Darstellung von Zahlen) dafür hat. Die Richtung 98888/6555 → 15,08588863 ist rechentechnisch so easy, dass die jeder Taschenrechner schafft, aber für die umgekehrte muss das gute Stück ganz schön ackern (je länger die Periode der Zahl, desto mehr), sofern er nicht ganz damit überfordert ist.
Doch wenn ich jetz 98888 durch 6555 in den Taschenrechner
eintippe, kommt 15,08588863 raus…und wenn ich die zahl in
einen bruch umwandeln will, dann klappt das nicht…der
taschenrechner zeigt immer noch dieselbe zahl an…
ist nun 98888/6555 eine irrationale zahl?
Dein Taschenrechner hat nur eine bestimmte Anzahl (Display-)Stellen, und auf die letzte wird gerundet (wenn ich nicht irre).
Mein Windows-Taschenrechner hat mir bei dieser Aufgabe um die 30 Nachkommastellen angegeben, aber das war bestimmt auch noch nicht das Ende der Fahnenstange.
Ich würde also (vorsichtig ausgedrückt) nicht ausschliessen, dass 98888/6555 tatsächlich irrational ist.
Ich würde also (vorsichtig ausgedrückt) nicht ausschliessen,
dass 98888/6555 tatsächlich irrational ist.
Ich würde es unvorsichtig ausgedrückt schon ausschliessen, denn Brüche sind glaube ich immer ziemlich rational So sagte es mir gerade zumindest mein Mathelehrer, der mir vor meinem geistigen Auge erschien…*wilfriedravenlässtgrüßen*
Hallo,
wei schon gesagt, hat dein Rechner einfach nicht genug Rechenkapazität, um das zu machen.
Doch wenn ich jetz 98888 durch 6555 in den Taschenrechner
eintippe, kommt 15,08588863 raus…und wenn ich die zahl in
15,08588863 = 15+ 8.588.863 / 100.000.000
nun müste er nämlich den ggT (größten gemeinsamen Teiler) von 8.588.863 und 100.000.000 ausrechnen, um dann kürzen zu können. Dafür gibt es zwar Algorithmen, aber die werden bei so großen Zahlen (zumindest für die Rechengenauigkeit des Rechners groß) schnell unhandlich. Mal abgesehen davon, daß durch die Rundung Fehler entstanden sein können, so daß das Ergebnis von deiner Eingabe abweicht.
nun müste er nämlich den ggT (größten gemeinsamen Teiler) von
8.588.863 und 100.000.000 ausrechnen, um dann kürzen zu
können.
es ist sogar noch viel schlimmer. 98888/6555 ist periodisch ab der zweiten Nachkommstelle und die Periode ist stolze 198 Ziffern lang. Um den Bruch „98888/6555“ aus „15,08588863…“ rekonstruieren zu können, müsste der Taschenrechner selbstverständlich alle Ziffern der Periode kennen. Das sind viel zu viele, um alle abgespeichert werden zu können. In gewöhnlichen wissenschaftlichen Taschenrechnern ist üblicherweise nur Speicherplatz für ca. 11 bis 12 Nachkommastellen vorgesehen.
Um einen Bruch zu kürzen, reicht außerdem die Kenntnis des ggT nicht aus (dafür gibts übrigens mit dem euklidischen Algorithmus ein schnelles Verfahren); man braucht vielmehr die Primfaktorzerlegungen seines Zählers und Nenners. Der Rechenaufwand für Faktorisierungen steigt jedoch mit größer werdenden Zahlen rapide an. Leider werden die zu zerlegenden Zahlen sehr schnell sehr groß: schon bei einem harmlosen 1/7 ist es eine 6-stellige, nämlich 142857, weil „142857“ die Periode ist: 1/7 = 0._142857. Die Periode von 1/29 ist bereits 28 Ziffern lang → Taschenrechner längst überfordert, und die von 98888/6555 eben 198 Ziffern.
es ist sogar noch viel schlimmer. 98888/6555 ist periodisch ab
der zweiten Nachkommstelle und die Periode ist stolze
198 Ziffern lang.
Das meinte ich mit dem Rundungsfehler. Da intern aber binär gerechnet wird, müste man genaugenommen die Periodenlänge im Binärsystem (wobei es auch Taschenrechner gibt, die wirklich mit BCDs rechen) betrachten. Aber das führt langsam wirklich zu weit.
Um einen Bruch zu kürzen, reicht außerdem die Kenntnis des ggT
nicht aus (dafür gibts übrigens mit dem euklidischen
Algorithmus ein schnelles Verfahren); man braucht vielmehr die Primfaktorzerlegungen seines Zählers und
Nenners.
Ich bin kein Mathematiker - aber was sollte man neben dem ggT sonst kürzen können? Das ist doch genau die Definition. Eine Priemfaktorzerlegung bringt imo auch kein anderes Ergebnis.
Im vorliegenden Beispiel kann man übrigens nichts kürzen. Der Zähler ist sogar eine Priemzahl und der Nenner hat bekanntlich nur 2 und 5 als Priemfaktoren.
Um einen Bruch zu kürzen, reicht außerdem die Kenntnis des ggT
nicht aus (dafür gibts übrigens mit dem euklidischen
Algorithmus ein schnelles Verfahren); man braucht vielmehr die Primfaktorzerlegungen seines Zählers und
Nenners.
Kannst du mir erklären warum? Wenn ich den ggT von Zähler und Nenner kenne, brauche ich doch nur beide durch diesen ggT teilen, um den Bruch weitestmöglich zu kürzen. Den ggT kann man recht effizient berechnen und die zwei Divisionen sollte den Taschenrechner auch kaum überfordern.
Wo ist da die Primfaktorzerlegung notwendig?
Um einen Bruch zu kürzen, reicht außerdem die Kenntnis des ggT
nicht aus
keine Ahnung wo ich mit meinen Gedanken war, als ich diesen Humbug eingetippt hab. Vielleicht ist sowas eine dieser vielzitierten Freudschen Fehlleistungen nach der Spalte zum Vor-Scham-im-Boden-Versinken…
Die Antwort auf Deine Frage…
aber was sollte man neben dem ggT sonst kürzen können?
…lautet natürlich „nichts“. Jeder Bruch, der durch den ggT seines Zählers und Nenners gekürzt wurde, ist maximal gekürzt.
Das ist doch genau die Definition. Eine Priemfaktorzerlegung bringt
imo auch kein anderes Ergebnis.
So ist es.
Auch @Sebastian: Tschuldigung für die unnötige Verwirrung.
So sagte es mir gerade zumindest mein Mathelehrer, der mir vor meinem geistigen Auge erschien…*wilfriedravenlässtgrüßen*