Raus aus Hartz 4 ?

Hallo! Bin neu hier und mir liegt heute wirklich ein Problem am Herzen-ich hoffe ich kann mich richtig ausdrücken…

Bis dato habe ich alleinerziehend mit meinen beiden Kindern gelebt und aufstockend Hartz4 bezogen.
Ab 1.07. ziehe ich mit meinem Partner zusammen,der dadurch natürlich in die Bedarfsgemeinschaft einberechnet wird.
Bei der Neuberechnung die mir heute(natürlich am WE :confused: ) zugestellt wurde stellte sich raus das wir nur noch gering Leistungen beziehen werden.
soweit natürlich wunderbar,kaum noch auf die Leistungen vom Amt angewiesen zu sein ( Miete wird nicht übernommen, nur anteilig für Unterkunft und Heizung knapp 130 Euro. )

Nun zu meiner eigentlichen Frage die mir erst heute bewusst wurde :
Was ist mit dem Unterhalt für die Kinder vom Kindesvater?? Er zahlt ans Jugendamt,bis jetzt wurde es vom Arbeitsamt mit dem Jugendamt verrechnet.(bekomme ja bis zu diesem Zeitpunkt nur die Regelleistungen-Einkommen der Kinder nur Kindergeld)
Würde ich mich ans Jugedamt wenden und den Unterhalt bekommen, welcher ja den Kindern zusteht,würde ich doch aus Hartz 4 fallen?? oder denke ich falsch??
Was passiert wenn ich kein Hartz 4 mehr beziehe mit der Krankenversicherung - welche ja im Moment über das Amt läuft??
Ich hoffe mich nicht zu wirr ausgedrückt zu haben… Danke für die Antworten!