Da ich privat gerne Schülern bis Klasse 10 in Mathematik helfe , glaubte ich bisher dort eigentlich gut im Bilde zu stehen
Nun stellte mich ein internatonaler Schüler (alle Fächer werden in Englisch unterrichtet) vor ein Problem , an dem ich selber „verzweifle“:
Welche Methoden gibt es, um relativ schnell und ohne Anwendung des GTR, die Frage beantworten zu können wie viele reale und wie viele imaginäre Nullstellen eine ganzrationale Funktion hat wie z.B:
x^4-2x^2+3x-4
Lösungsformeln zur Bestimmung dere Nullstellen gibt es bei diesen Grad nicht , da ich nicht auf eine biquadratische Funktion zurückgreifen kann, wegen des Giedes mit ungerade Exponenten 3*x.
Wie also - außer durch endlosen Probieren und Einschachteln…?
Mit besten Dank im voaus für Eure Antworten
teddy 64
Hallo!
Wenn kein Taschenrechner verwendet werden soll, dann ist die Gleichung meistens so, dass man eine oder mehrere Lösungen durch scharfes Hinsehen sieht. Dabei sind ganzzahlige Lösungen (falls vorhanden) immer Teiler des absoluten Glieds. Wenn dann eine Lösung gefunden ist, kann eine Polynomdivision mit dem entsprechenden Linearglied durchgeführt werden, solange bis man eine Gleichung hat, die man über eine Lösungsformel lösen kann.
Nico
Hallo teddy!
Lösungsformeln gibt es schon, aber die sind recht unhandlich.
Man könnte auch die Extrempunkte suchen (vielleicht sind ja die Nullstellen der Ableitung einfacher zu bestimmen), daraus dann entnehmen, wie viele reelle Nullstellen es gibt; der Rest sind dann (meist) irreelle. (Meist deshalb, weil ja auch Nullstellen mit höherer Vielfachheit auftreten können.)
Liebe Grüße
Immo
Danke Euch für die Antworten. Das sind „deutsche Antworten“ und für mich wieder nachvollziehbar…-))
Aber die erste Antwort geht natürlich über Stoff Klasse 10 hinaus - auch wenn ich das gerade so noch hinbekommen würde…
)
Die 2. Antwort - ja - eigentlich logisch…
Aber mir machen beschriebene ev. Lösungswege von ihm Sorgen(Internat. Schule):
- müsste über synthtische Division gehen, die eine verkürzte Version der Polynomdivision wäre (die kenne ich - nicht aber die synthtische)oder über die Bestimmung der „rational roots Theorem“,
Diese beschreibt:
„All of the possible rationa roots of polynomial are given by expression +/-p/q, whre p is any factor of the polynomiail, and q is any factor of the coefficient of the leading term of the polynomial“
Ich habs gleich in englisch eingesetzt um eventuelle Verständigungsprobleme meinerseits mit englisch auszuschließen.
Würde es frei übersetzen:
„alle besonderen rationalen Wurzeln von einem Polynom sind gegeben durch den Ausdruck p/q, wo p ein faktor von den konstanten Terms des Polynoms ist und q ist ein Faktor des Koeffizienten des letzten Terms des Polynoms“
Ich werde aus der Formulierung nicht wirklich schlau?
Meint du sollst Polynomdivision anwenden , wenn i mich jetzt ned täusche
Nee - das verrückte ist ja: die Polynomdivision ist mir ein Begriff und bekannt.
Aber es soll da so ne verkürzte Version der Polynomdivision geben- eine sogenante „Synthetic-Division“ oder eben über die „rationalen Roots“- wie oben beschrieben…
Das alles kenne ich aus der deutschen Mathematik nicht…?
Es scheint also wirklich ne vereinfachte Polynomdivision zu sein, die nur für Linearfaktoren funktioniert. Vorraussetzung ist aber auch, dass man mögliche Nullstellen sieht:
http://www.purplemath.com/modules/synthdiv.htm
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