Nabend,
ich sitze gerade vor einer Aufgabe, bei der ich mittels Rechenregeln rausfinden soll, ob der folgende Term gleich ist:
(A \backslash B) \cap (C \backslash D) = (A \cap C) \backslash (B \cup D)
Zu Fuß habe ich bereits festgestellt, dass dieser Term wahr ist, aber auf welche Regenregel bezieht sich diese Gleichung?
MfG G-Fire
Hallo,
(A \backslash B) \cap (C \backslash D) = (A \cap C) \backslash
(B \cup D)Zu Fuß habe ich bereits festgestellt, dass dieser Term wahr
ist, aber auf welche Regenregel bezieht sich diese Gleichung?
Du kannst das umschreiben als die Menge aller x, wobei
(x \in A \wedge x \not\in B) \wedge (x \in C \wedge x \not\in D)
Da das logische „und“ assoziativ und kommutativ ist, kannst du das umgruppieren als
(x \in A \wedge x \in C) \wedge (x \not\in B \wedge x \not\in D)
Wenn du jetzt beim hinteren Term ein „nicht“ ausklammerst und das ganze wieder in Mengenschreibe schreibst, hast du genau das gesuchte Ergebnis.
Die Antwort ist also, dass es aus der Assoziativität und Kommutativität des logischen „und“ folgt.
Grüße,
Moritz
Hallo, erstmal vielen Dank für Deine Antwort!
(x \in A \wedge x \in C) \wedge (x \not\in B \wedge x \not\in
D)
Also kann ich beim umformen davon ausgehen, dass Differenzen und Durchschnitte sich als logisches AND darstellen lassen?
Somit würde sich beim ausklammern hier das AND zu einem OR ändern.
MfG G-Fire
Hallo,
(x \in A \wedge x \in C) \wedge (x \not\in B \wedge x \not\in
D)Also kann ich beim umformen davon ausgehen, dass Differenzen
und Durchschnitte sich als logisches AND darstellen lassen?
Ja, wenn man liest „x ist in der Differenz von A und B“, dann ist das ja das gleiche wie „X ist in A und nicht in B“.
Somit würde sich beim ausklammern hier das AND zu einem OR
ändern.
Wuss? wie kommst du darauf?
Grüße,
Moritz
Hallo,
Somit würde sich beim ausklammern hier das AND zu einem OR
ändern.
Wuss? wie kommst du darauf?
Wenn ich das NOT vom \in ausklammere habe ich doch:
(x \in A \wedge x \in C) \overline{ \wedge } (x \in B \wedge x \in
D)
MfG G-Fire
und somit:
(x \in A \wedge x \in C) \lor (x \in B \wedge x \in
D)
Hallo,
Also kann ich beim umformen davon ausgehen, dass Differenzen
und Durchschnitte sich als logisches AND darstellen lassen?
Durchschnitt ↔ AND
Vereinigung ↔ OR
Differenz ↔ AND NOT
Somit würde sich beim ausklammern hier das AND zu einem OR ändern.
Du musst hier das erste der beiden De Morganschen Verneinungsgesetze zur Anwendung bringen (und dabei ändern sich nicht nur ANDs in ORs, sondern auch die NOTs spielen eine Rolle):
\begin{eqnarray}
\overline{p \vee q} &=& \overline{p} \wedge \overline{q}\nonumber\
\overline{p \wedge q} &=& \overline{p} \vee \overline{q}\nonumber
\end{eqnarray}
Oder dasselbe in „Programmiersprachennotation“ ausgedrückt:
NOT (p OR q) = (NOT p) AND (NOT q)
NOT (p AND q) = (NOT p) OR (NOT q)
Damit kannst Du die Lösung der Aufgabe z. B. so darstellen (wobei a abkürzend für x ∈ A stehen soll usw.):
\begin{eqnarray}
(A \backslash B) \cap (C \backslash D)
&=& {x:expressionless:
x \in A \wedge x \notin B) \wedge (x \in C \wedge x \notin D) }\
&=& (a \wedge \overline{b}) \wedge (c \wedge \overline{d})\
&=& a \wedge \overline{b} \wedge c \wedge \overline{d}\
&=& a \wedge c \wedge \overline{b} \wedge \overline{d}\
&=& (a \wedge c) \wedge (\overline{b \vee d})\
&=& {x:expressionless::x \in A \cap C \wedge x \notin B \cup D }\
&=& (A \cap C) \backslash (B \cup D)
\end{eqnarray}
Also erst von der Mengennotation in Aussagenlogik übersetzen, dann umformen und am Schluss wieder in Mengennotation zurückübersetzen.
Gruß
Martin