Hossa 
in der Physik rechnet man ja beliebig mit
mit den Differentialoperatoren dx herum.
Warum funktioniert das?
So beliebig ist das gar nicht, sondern dahinter stehen strenge mathematische Regeln.
- Kettenregel:
Hängt die Funktion f(x) von x ab und hängt x=x(t) von t ab, dann gilt beim Ableiten die Kettenregel:
\left(f\circ x\right)^\prime(t_0)=f^\prime(x(t_0))\cdot x^\prime(t_0)
Dies erlaubt das „Erweitern“ wie folgt:
\frac{df}{dt}=\frac{df}{dt},\frac{dx}{dx}=\frac{df}{dx},\frac{dx}{dt}
- Ableiten der Umkehrfunktion:
Für die Ableitung der Umkehrfunktion gilt die Regel:
\left(f^{-1}(y)\right)^\prime=\frac{1}{f^\prime\left(f^{-1}(y)\right)}=\frac{1}{f^\prime(x)}
Dies erlaubt die „Kehrwertbildung“ wie folgt:
\frac{dx}{dy}=\frac{1}{\frac{dy}{dx}}
- Ableiten der Summe/ Differenz von zwei Funktionen:
Die Summenregel der Differentialrechnung:
\left(f(x)\pm g(x)\right)^\prime=f^\prime(x)\pm g^\prime(x)
erlaubt die „Addition“ wie folgt:
\frac{d(f\pm g)}{dx}=\frac{df}{dx}\pm\frac{dy}{dx}
- Ableitung eines Vielfachen:
\left(a\cdot f(x)\right)^\prime=a\cdot f^\prime(x)
Erlaubt die Multiplikation mit einer Konstanten:
\frac{d(a\cdot f)}{dx}=a\cdot\frac{df}{dx}=\frac{a\cdot df}{dx}
- Produktregel:
Die Produktregel:
\left(f(x)\cdot g(x)\right)^\prime=f^\prime(x),g(x)+f(x),g^\prime(x)
kann leider nicht direkt aus der Bruchrechnung abgeleitet werden:
\frac{d(fg)}{dx}=\frac{df}{dx},g+f,\frac{dg}{dx}
Ich denke, das waren die wichtigsten Regeln. Dank des „wilden Rumrechnens“ mit den Differentialoperatoren wird das Ableiten so einfach wie das Bruchrechnen
Oder anders gefragt, wann funktioniert das auf jeden Fall
nicht mehr?
Kritisch wird es, wenn Summen und Integrale vertauscht werden. Der Umgang mit den Differentialoperatoren ist sehr sicher, ich wüsste jetzt auch keinen Fall, bei dem das versagen würde… Vielleicht kennt ja wer solche Fälle, würden mich auch interessieren.
Gibt es eine vernünftige Erklärung, warum sowas mathematisch
unexaktes auf eine korrekte Lösung führt?
Wie ich hoffentlich zeigen konnte, ist das nicht unexakt. Die mathematischen Regeln werden nur „geschickter“ angewendet.
Gibt es aber auch Funktionen bzw. Zusammenhänge, wo man dann
kein Delta statt Differentialoperator schreiben kann.
Die Differentialoperator-Schreibweise ist ja gerade so definiert:
\frac{df}{dx}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta f}{\Delta x}=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{(x+h)-x}
=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=f^\prime(x)
Viele Grüße
Hasenfuß
