Rechnenweg

[pebez_e5f8b6]

Hallo zusammen,

für folgende Aufgabe habe ich ein Basic Programm geschrieben
damit ich nicht immer wieder neu rechnen muss (funktioniert einwandfrei).

Hat von euch jemand eine Idee wie man diese Aufgabe mit
einer festen Formel lösen kann?

Aufgabenbeschreibung:

Stellt euch eine Säule vor (D=1.300 mm, h = 200 mm)
Dann einen Kegelstumpf (D= 1.300 mm, h= 780 mm, d=180 mm)
Nun bildet die Säule mit dem Kegelstumpf EINEN Körper.
Nun wird dieser Körper so umgedreht, dass man eine Art Trichter hat.
Oberer Durchmesser 1.300 mm
Höhe gesamt 980 mm
Unterer Durchmesser 180 mm

Dieser Trichter wird mit einem Medium befüllt ( 2 kg / ltr.)

Aufgabe:

Wie hoch ist der Füllstand, wenn man 270 ltr. einfüllt ?

Mein Programm arbeitet mit einer Schleife ( Iterationsverfahren ).

Gibt es noch andere Möglichkeiten diese Aufgabe zu lösen?

Gruß Pebez

[Jo1_a88223]

Hallo,

Wie hoch ist der Füllstand, wenn man 270 ltr. einfüllt ?

es bietet sich hier an, die Rechnung in zwei Teile zu teilen: einen Teil für den Kegelstumpf und einen Teil für den zylindrischen Abschnitt.

Also:

Wenn die angegebene Füllmenge kleiner ist als das Volumen des Kegelstumpfes, dann ist ja nur der Kegelstumpf befüllt. Die Füllhöhe bekommst du dann einfach aus der Volumenformel für den Kegelstumpf.

Ansonsten ist der Kegelstumpf voll und ein Teil der Füllmenge befindet sich auch noch im zylindrischen Abschnitt. Dann subtrahierst du also zunächst mal das Kegelstumpfvolumen von der angegebenen Füllmenge. Was übrig bleibt, ist im Zylinder; und hier kannst du auch die Volumenformel für den Zylinder hernehmen, um die Füllhöhe auszurechnen. Am Ende nicht vergessen: Die Gesamt-Füllhöhe ist dann diese berechnete Höhe PLUS die Höhe des Kegelstumpfes.

LG
Jochen

[OlafG]

Moin,

Hat von euch jemand eine Idee wie man diese Aufgabe mit
einer festen Formel lösen kann?

was ist denn die Größe, die sich ändert? Das Volumen von dem Zeug, was da reingefüllt wird? Oder auch die Maße von dem Gefäß?

Mein Programm arbeitet mit einer Schleife (
Iterationsverfahren ).

Meinst Du wirklich Iterationsverfahren? Oder einfach eine einmalige If-then-Verzweigung? Die einzige Entscheidung hier ist doch, ob der Füllstand bis in den geraden Teil reicht oder schon im schrägen Teil endet. Aber da reicht doch eine einmalige Entscheidung - je nachdem ob das Füllvolumen größer als das Volumen des Kegelstumpfes ist oder nicht. Wenn Du diese Entscheidung mit in die Endformel packen willst, geht das bestimmt mit der Betragsfunktion.
Ansonsten lässt sich die Volumenformel einfach nach h auflösen, oder übersehe ich jetzt was?

Olaf

[pebez_e5f8b6]

Moin,

Hat von euch jemand eine Idee wie man diese Aufgabe mit
einer festen Formel lösen kann?

was ist denn die Größe, die sich ändert? Das Volumen von dem
Zeug, was da reingefüllt wird? Oder auch die Maße von dem
Gefäß?

Es ändert sich das Volumen der eingefüllten Menge,
dadurch wiederum das Gewicht. Die Form bleibt immer gleich.

Mein Programm arbeitet mit einer Schleife (
Iterationsverfahren ).

Meinst Du wirklich Iterationsverfahren? Oder einfach eine
einmalige If-then-Verzweigung? Die einzige Entscheidung hier
ist doch, ob der Füllstand bis in den geraden Teil reicht oder
schon im schrägen Teil endet.

Das ist eben von Fall zu Fall unterschiedlich.
Endung im geraden Teil ist kein Thema (Kegelstumpf voll).
Wie hoch ist aber der unterschiedliche Füllstand im Kegel?
Dazu zerschneidet die Schleife den Kegelstumpf in mm Scheiben
und vergleicht das Volumen.

Aber da reicht doch eine
einmalige Entscheidung - je nachdem ob das Füllvolumen größer
als das Volumen des Kegelstumpfes ist oder nicht. Wenn Du
diese Entscheidung mit in die Endformel packen willst, geht
das bestimmt mit der Betragsfunktion.
Ansonsten lässt sich die Volumenformel einfach nach h
auflösen, oder übersehe ich jetzt was?

s.o.

Gruß Pebez

[pebez_e5f8b6]

Hallo,

Wie hoch ist der Füllstand, wenn man 270 ltr. einfüllt ?

es bietet sich hier an, die Rechnung in zwei Teile zu teilen:
einen Teil für den Kegelstumpf und einen Teil für den
zylindrischen Abschnitt.

Also:

Wenn die angegebene Füllmenge kleiner ist als das Volumen des
Kegelstumpfes, dann ist ja nur der Kegelstumpf befüllt. Die
Füllhöhe bekommst du dann einfach aus der Volumenformel für
den Kegelstumpf.

Welche Höhe wird denn im Kegelstumpf erreicht?
Die Maße vom Kegelstumpf änern sich ja nicht.

Ansonsten ist der Kegelstumpf voll und ein Teil der Füllmenge
befindet sich auch noch im zylindrischen Abschnitt. Dann
subtrahierst du also zunächst mal das Kegelstumpfvolumen von
der angegebenen Füllmenge. Was übrig bleibt, ist im Zylinder;
und hier kannst du auch die Volumenformel für den Zylinder
hernehmen, um die Füllhöhe auszurechnen. Am Ende nicht
vergessen: Die Gesamt-Füllhöhe ist dann diese berechnete Höhe
PLUS die Höhe des Kegelstumpfes.

Das ist schon klar. )

Gruß Pebez

[OlafG]

Wie hoch ist aber der unterschiedliche Füllstand im Kegel?
Dazu zerschneidet die Schleife den Kegelstumpf in mm Scheiben
und vergleicht das Volumen.

OK, aber es gibt doch eine Formel für das Volumen eines Kegels. Das ist Grundfläche mal Höhe durch 3. Daraus kann man auch die Volumenformel für einen Kegelstumpf herleiten (mit Hilfe des Strahlensatzes), es ist V = Pi mal h durch 3 mal (r₁² + r₁r₂ + r₂²). Und das kann man doch nach h umstellen.

Upps - gerade als ich es abschicken wollte, habe ich wohl Dein Problem verstanden - Du kennst ja den zweiten Radius gar nicht, weil der ja wiederum von der Füllhöhe abhängt. Klar. Aber Du kannst ihn auch mit dem Strahlensatz ausrechnen. Wenn Du Dir den Querschnitt von Deinem Kegelstumpf aufzeichnest und vielleicht zu einem ganzen Kegel ergänzt, dann siehst Du es. Jedenfalls kannst Du dann diesen Zusammenhang zwischen oberem Radius und Füllhöhe in die Volumenformel einsetzen und nach h umstellen.

Olaf

[Horst_Haufe]

Aufgabe:

Wie hoch ist der Füllstand, wenn man 270 ltr. einfüllt ?

Mein Programm arbeitet mit einer Schleife (
Iterationsverfahren ).

Gibt es noch andere Möglichkeiten diese Aufgabe zu lösen?

Gruß Pebez

Hallo Pebez,
es sind schon viele wichtige Hinweise erfolgt. Dein Problem scheint demnach nicht der zusammengesetzte Körper zu sein sondern dessen unterer Teil, der Kegelstumpf.
Dessen Volumen läßt sich tatsächlich als geschlossene Formel angeben, bei der ich die Füllhöhe mal z genannt habe. Und man kann sie auch nach z umstellen, so daß z als eine analytisch darstellbare Funktion von V erscheint. Das suchtest Du wohl.
Die Rechnung dazu ist elementar aber etwas lang und unübersichtlich. Am besten kommt man, wenn man dabei einige Substitutionen macht, die man nachher wieder einsetzt. Ich empfehle:
r1 …oberer Radius (=6,5 dm) - die Maßeinheit Dezimeter empfiehlt sich wegen des Volumens in Liter); r2 … unterer Radius (=0,9 dm).
Ferner sei Dh (Delta h) die Höhe des Kegelstumpfes (=7,8 dm),als Differenz von h2…Höhe des vollständigen Kegels und h2…Höhe des Ergänzungskegels. Schließlich noch r (ohne Index) der vom Füllstand abhängige Radius der Flüssigkeitsoberfläche. Außerdem kann man den immer wieder vorkommenden konstanten Faktor (r2-r1)/Dh = a abkürzen.
Aus einer Skizze liest man ohne weiteres ab: h2 = r2/a und h1 = r1/a
sowie r = r1 + z .
Nach einigen einfachen aber mühsamen Umformungen entsteht:

V = Pi/3a[a^3(r1/a + z)^3 - r1^3]

und nach z umgestellt: z = 1/a*{[3.Wurzel aus (3Va /Pi + r1^3)] - r1}

Im Zahlenbeispiel faßt der völlig gefüllte Kegelstumpf 399,5 l Flüssigkeit, bei größeren Füllständen ist dann mit einer anderen Formel für den zylindrischen Teil weiter zu rechnen (wie bereits beschrieben). Bei 270 l Inhalt steht die Flüssigkeit im Kegelstumpf rund 7 dm hoch (669,5 mm)

Ahoj! Horst

[Jo1_a88223]

Hallo,

Horst hat ja schon eine Lösung genannt. Ein weitere Lösungsweg wäre:

Du nimmst die Volumenformel. Darin sind der obere Radius für die Füllhöhe sowie die Füllhöhe als Unbekannte. Über den Strahlensatz bekommst du einfach eine Beziehung zwischen dem Radius und der Füllhöhe. Den in Abh. der Füllhöhe ausgedückten Radius kannst du in die Volumenformel einsetzen. Du erhälst eine kubische Gleichung für die Füllhöhe, die sich gemäss der Formel von Cardano lösen läßt.

Anhaltspunkte:

http://www.mathematik.ch/anwendungenmath/Cardano/For…

Sei

R der obere Radius (650mm)
r der untere Radius (90mm)
h die Stumpfhöhe (780mm)

und

z = (R-r)/h

dann ist gemäß der gelinkten Seite

a = z²
b = 3rz
c = 3r²
d = -3/Pi*V

Für V = 270*100³ (mm³) ergibt sich p=0, und q=-251087611.9.

Die Lösung für die Füllhöhe ist schließlich 669.4927 mm.

LG
Jochen

[OlafG]

Mysteriöser Kegelstumpf
Hallo,

ich nochmal. Zuerst dachte ich ja, dieser Kegelstumpf ist was ganz triviales und wollte gar nicht verstehen, was da ein Basic-Programm soll…
Ich habe jetzt gerade nochmal nachgerechnet und bin jetzt auch auf eine kubische Gleichung gekommen, so wie Jo. Horst hat es allerdings wohl ohne kubische Lösungsformel hinbekommen - und das irritiert mich jetzt etwas. Zumal beide dasselbe Zahlenergebnis haben.
Schafft es jemand, noch diesen Widerspruch zu klären? Kubische Gleichung mit Lösungsformel oder einfach dritte Wurzel ziehen? Oder hat Horst in seinem längeren Rechenweg vielleicht die Grundidee der Lösungsformel verwendet?
Das würde mich jetzt echt mal interessieren.

Olaf

[Martin]

Hallo,

Zuerst dachte ich ja, dieser Kegelstumpf ist was ganz triviales

das ist er auch…

und bin jetzt auch
auf eine kubische Gleichung gekommen, so wie Jo. Horst hat es
allerdings wohl ohne kubische Lösungsformel hinbekommen

Wieso, Horsts Ergebnis für z ist doch eine Konstante mal einer Kubikwurzelfunktion (Unterstreichung von mir)

z = 1/a*{[3.Wurzel aus (3Va /Pi + r1^3)] - r1}

Schafft es jemand, noch diesen Widerspruch zu klären? Kubische
Gleichung mit Lösungsformel oder einfach dritte Wurzel ziehen?

Gegeben sei ein kegelförmiges Sektglas. H := Höhe des sektenthaltenden Kegelteils des Glases, R := Radius des Randkreises oben. Das Glas hat das Fassungsvermögen

V_voll = 1/3 π R² H

Sei V das Volumen des im Glas befindlichen Sekts, h die Füllhöhe. Der Zusammenhang zwischen V und h ist

V(h) = V_voll (h/H)³

Dafür muss man nichts rechnen, nur wissen, dass V(h) proportional zu h³ anwächst.

Dreht man das Glas auf den Kopf, kann man das neue V(h) ebenfalls sofort angeben:

V(h) = V_voll (1 – (1 – h/H)³)

Das ist problemlos nach h auflösbar mit dem Ergebnis

h = H (1 – ³√(1 – V(h)/V_voll))

Hat man es schließlich mit einem H_Stumpf hohen Kegelstumpf statt eines ganzen Kegels zu tun, ändert sich an den beiden letzten Ausdrücken garnichts. Die „Spitzenhöhe“ H des Stumpfes folgt aus R/H = R’/(H – H_Stumpf) zu

H = R/(R – R’) H_Stumpf

mit R = Radius der Bodenfläche, R’ = Radius der Stumpffläche.

Gruß
Martin

[OlafG]

Moin,

so, zum letzten mal Kegelstumpf…

Alles richtig was Du schreibst. Ich habe auch den scheinbaren Widerspruch geklärt.

Du hast die Variablen und Zusammenhänge sehr geschickt gewählt, und kommst schliesslich auf

V(h) = V_voll (1 – (1 – h/H)³)

Das lässt sich natürlich elementar auflösen.
Wenn man zwischendurch mal ungeschickterweise das Binom ausmultipliziert hat, erhält man dann eben eine Gleichung dritten Grades, bei der man glaubt, die Lösungsformel brauchen zu müssen.

Alles klar jetzt. Schönen Tag noch.

Olaf

[pebez_e5f8b6]

Dank an alle Beteiligten…
Hallo nochmals,

ich möchte mich bei allen Beteiligten für ihre Arbeit bedanken.

Mit meiner Schleife weiche ich um ca. ± 5 mm ab (irrelevant).

Es war eine interessante Erfahrung für mich, da ich in Mathe nicht
unbedingt in eurer Liga spiele und mir damals nix dergleichen
in den Sinn kam. Ich werde mein Programm eventuell anpassen.

Viele Grüße Pebez