Hallo,
wir gehen aus von
dv + u dm/m = 0
Darin ist v die Geschwindigkeit der Rakete, m ihre Masse, und u die konstante Ausströmgeschwindigkeit der Triebwerksgase (relativ zur Rakete, klar).
Die Form dieser Differentialgleichung erlaubt es, die Variablen (hier v und m) zu trennen:
dv = –u 1/m dm
Jetzt enthält der Ausdruck links vom Gleichheitszeichen nur v und dv, und der rechts davon stehende nur m und dm: die Trennung der Variablen ist geglückt und beide Seiten können integriert werden. Das zugrundeliegende Verfahren ist eine ganz wichtige Methode zur Lösung von nichtlinearen (!) Differentialgleichungen und unter dem Namen „Integration mit Separation der Variablen“ (siehe http://de.wikipedia.org/wiki/Trennung_der_Ver%C3%A4n…) bekannt.
Der nächste Schritt ist denkbar simpel – er besteht im Hinzufügen von Integralzeichen mitsamt den passenden Integrationgrenzen:
∫0 … v dv’ = ∫mstart … m (–u 1/m’) dm’
Die Integrationsgrenzen sind beim Integral auf der linken Seite 0 und v, weil die Rakete eben von 0 auf v beschleunigt, und bei dem Integral auf der rechten Seite mstart und m, weil sich die Masse der Rakete beim Beschleunigungsvorgang von mstart zu m verändert.
Die Integrationsfunktion des linken Integrals ist 1 und hat als Stammfunktion v’. Für das rechte Integral muss man wissen, dass 1/x die Stammfunktion ln x hat.
[v’]0 … v = –u [ln m’]mstart … m
v – 0 = –u ln(mstart/m)
v(m) = –u ln(mstart/m)
Und schon steht die Endformel da. Die Gleichung beschreibt die Abhängigkeit der Raketengeschwindigkeit von der Masse der Rakete (!), und nicht etwa von der Zeit. Die Schreibweise in dem Wikipedia-Artikel mit „v(t)“ links und „m(t)“ rechts ist irreführender Mist. Dort wird auch über die Zeit integriert (Integrationsgrenzen 0 bis t); das ist schlicht falsch. Integrationsgrenzen haben schließlich immer dieselbe Dimension wie die Integrationsvariable.
Da die Ausströmgeschwindigkeit bei Flüssigkeitstriebwerken ungefähr u ≈ 4.6 km/s beträgt, und das Verhältnis mstart/mend = Startgewicht/Gewicht der vollständig leergebrannten Rakete technisch höchstens bis auf etwa 6:1 gebracht werden kann, liegt die maximal erreichbare Geschwindigkeit einer entsprechenden Rakete bei
vmax ≈ 4.6 km/s · ln 6 ≈ 8.24 km/s
Damit ist gezeigt, dass die zum Verlassen des Gravitationsfelds der Erde nötige Geschwindigkeit von 11.2 km/s mit einstufigen Raketen nicht zu erreichen ist.
Gruß
Martin
