Arbeitsverhältnisse können grds. immer ohne Begründung gekündigt werden, da das Gesetz keinen Begründungszwang vorsieht. Etwas anderes kann sich dann höchstens aus tariflichen Vorschriften ergeben.
Ob der Arbeitgeber einen Grund für die Kündigung haben muss, hängt davon ab, ob Kündigungsschutz besteht. Der besteht generell nicht in Kleinbetrieben und bei größeren Betrieben auch nicht in den ersten 6 Monaten des Arbeitsverhältnisses.
Insofern war es egal, ob die Probezeit vorbei war. 6 Monate waren noch nicht um.