ch habe ein Rechteck mit den Eck-Koordinaten a.x, a.y, b.x, b.y, c.x, c.y, d.x, d.y. Nun möchte ich das Rechteck um α Grad im Uhrzeigersinn drehen und die neuen Eck-Koordinaten bekommen.
Um das Ganze leichter verständlich zu machen, habe ich es unter folgendem Link nochmal zusammengefasst:
http://www.capuzza.com/mathe.htm
Bin für jede Hilfe dankbar!
Hallo,
Drehungen (in der Ebene) kann man mit der Matrix D =
| cos(alpha) sin(alpha)|
|-sin(alpha) cos(alpha)|
berechen. Alpha muß im Bogenmaß sein.
Einfach mit dem „Koordinaten-Vektor“ eines beliebigen Punktes multiplizieren.
Beachte: wenn Du den Drehpunkt in der Mitte des Rechtecks haben willst (Schnittpunkt der Diagonalen), dann musst Du die Punkt-Koordinaten auf diesen Nullpunkt beziehen. In dem verlinkten Beispiel hätte Ecke a dann a=(-A/2, +C/2)T (also als Zeilenvektor). Das ergäbe dann für den neuen Punkt:
aneu = D*aalt
in Deinem Fall:
ax-neu = ax-alt*cos(alpha)+ay-alt*sin(alpha)
ay-neu = -ax-alt*sin(alpha)+ay-alt*cos(alpha)
Jetzt nur noch mit (+A/2,-C/2) zurückschieben und alles paletti.
Für die Punkte b, c und d analog (einfach a und Verschiebung entsprechend ersetzen).
Hoffe, das hilft.
Michael
Hallo Mareike,
wenn Du weißt, wie ein einziger Punkt gedreht wird, dann kannst Du auch Dein Rechteck oder jedes x-beliebige ebene geometrische Objekt, das durch eine Menge von Punkten definiert ist, drehen.
Du hast ein kartesisches Koordinatensystem (Ursprung + zwei orthogonale Achsen) und irgendwo darin einen einzigen Punkt P(x, y). Jetzt drehst Du um den Winkel alpha, wobei die Drehachse durch den Koordinatensystem-Ursprung geht. Dadurch erhälst Du den „Ergebnispunkt“ P’(x’, y’).
Alles klar? Gut, dann brauchst Du jetzt noch die Formel, mit der Du das x’ und das y’ aus dem x und dem y berechnen kannst. Hier ist sie:
x' = x c - y s
y' = x s + y c
~
wobei c = cos(alpha); s = sin(alpha)
Ja, das ist alles! Beachte jedoch: Diese Formel gilt nur für den 2D-Fall, und bitte versuche nicht, sie auf den dreidimensionlen Raum zu verallgemeinern. Dabei würde mit Sicherheit nichts Gutes herauskommen, denn der 3D-Fall stellt sich komplizierter dar (weil dann die Achse ja beliebig „schief“ im Raum liegen kann, wohingegen sie im 2D-Fall logischerweise nur senkrecht auf der betreffenden Ebene stehen kann).
Ich hoffe, damit bist Du in der Lage, Dein Rechteck zu drehen, bis ihm schwindelig wird 
.
Mit freundlichem Gruß
Martin
PS: Das Ding steht auch in jeder Formelsammlung (ab Gymnasium); sieh nach unter „Analytische Geometrie in der Ebene“, Abschnitt Abbildungen/Transformationen.
Zusatz: Vorzeichen
Hallo,
Martin und ich haben beim sinus jeweils unterschiedliche Vorzeichen. Das erklärt sich folgendermaßen:
Bei Martin wird der Winkel alpha gegen den Uhrzeigersinn positiv gezählt, bei mir ist alpha im Uhrzeigersinn positiv.
Könnte für Verwirrung sorgen.
Michael
Vielen Dank für die Hilfe, hat alles geklappt!
Mareike