Rechteck im Dreieck (etwas komplizierter)

Wissenschaft Mathematik
1

Hallo, ich habe folgendes Problem:

Ich habe ein Dreieck, mit a=8cm b=5 cm und gamma =90grad

---------------------------------90°
---------------------------------/\
--------------------a= 8cm–/__\b= 5cm
------------------------------/| … . |\
-----------------------------/_|___|_\
-------------------------------c

(die gepunktete Linie spielt keine Rolle, die kleine „Skizze“ lässt sich nur sonst nicht anders darstellen…)

nun soll auf der hypotenuse ein rechteck entstehen mit dem größtmöglichen Flächeninhalt.
Sprich, seine beiden oberen Ecken sollen an den Katheten anliegen und seine Unterseite soll auf der Hyotenuse sein.

Leider fehlen mir im Moment die Ideen. Ich hatte erst überlegt irgendwie über die Höhe zu gehen und dann die Funktionsgleichungen der beiden Katheten zu bestimmen doch bin ich mir momentan nicht sicher ob das der richtige Ansatz ist bzw. wie es dann weitergehen sollte.

Ich bitte um hilfe =)
Danke
Flashster

2

hi,

Ich habe ein Dreieck, mit a=8cm, b=5 cm und gamma =90grad

nun soll auf der hypotenuse ein rechteck entstehen mit dem
größtmöglichen Flächeninhalt.

Sprich, seine beiden oberen Ecken sollen an den Katheten
anliegen und seine Unterseite soll auf der Hyotenuse sein.

also gegeben: dreieck mit a=8cm, b=5 cm und gamma =90grad
IN (das ist wichtig!) diesem dreieck soll ein flächengrößtes rechteck gezeichnet werden, dessen eine seite auf der hypotenuse des dreiecks liegt.

Leider fehlen mir im Moment die Ideen. Ich hatte erst überlegt
irgendwie über die Höhe zu gehen und dann die
Funktionsgleichungen der beiden Katheten zu bestimmen doch bin
ich mir momentan nicht sicher ob das der richtige Ansatz ist
bzw. wie es dann weitergehen sollte.

das ist gar nicht so schlecht.
in wirklichkeit ist das eine extremwertaufgabe mit „ähnlichkeit“ in der sog. nebenbedingung.

nennen wir die beiden seiten des gesuchten rechtecks x und y (die waagrechte x). dann ist die funktion F(x,y) = x.y zu maximieren.

problem: du hast eine variable zu viel. also musst du über weitere beziehungen (sog. „nebenbedingungen“) mindestens eine variable hinausbugsieren. hier spielt nun ähnlichkeit eine rolle:

wenn wir die dritte, waagrechte seite des dreiecks (die hypotenuse) c nennen und die höhe auf sie h und das rechteck einzeichnen, hast du 2 ähnliche dreiecke. das ursprüngliche und „das kleine“ mit der oberkante des rechtecks als grundlinie. dann gilt:

h : c = (h - y) : x
denn h - y ist die höhe des kleinen dreiecks und x seine grundlinie / hypotenuse.

umgeformt:

x = c/h . (h - y)

und F = c/h . (h - y) . y = c/h . (hy - y²)

das leitest du ab und setzt die ableitung F’ = 0:

F’ = c/h . (h - 2y) = 0

also: h - 2y = 0

y = h/2.

x = c/h . h/2 = c/2.

und das flächengrößte rechteck in einem rechtwinkligen dreieck ist immer halb so hoch und halb so lang wie das dreieck. wie lang genau kannst du nun anhand der konkreten zahlen bestimmen:

c = Wurzel(8² + 5²)
die höhe des dreiecks ist dann h = 5 . sin alpha, wobei:
tan alpha = 8/5. alpha = arctan (8/5).
c = Wurzel(8² + 5²)
die höhe des dreiecks ist dann h = 5 . sin alpha.

hth
m.

3

wenn wir die dritte, waagrechte seite des dreiecks (die
hypotenuse) c nennen und die höhe auf sie h und das rechteck
einzeichnen, hast du 2 ähnliche dreiecke. das ursprüngliche
und „das kleine“ mit der oberkante des rechtecks als
grundlinie. dann gilt:

h : c = (h - y) : x

—>bis hier hin alles klar…

denn h - y ist die höhe des kleinen dreiecks und x seine
grundlinie / hypotenuse.

umgeformt:

x = c/h . (h - y)

------> diese Umformung versteh ich nicht.
eventuell weil ich nicht genau weiß was der punkt dazwischen ist, aber laut meiner umformung müsste doch egentlich
x= (h-y) / h/c sein oder nicht?
und nicht c/h?

und F = c/h . (h - y) . y = c/h . (hy - y²)

das leitest du ab und setzt die ableitung F’ = 0:

F’ = c/h . (h - 2y) = 0

also: h - 2y = 0

y = h/2.

x = c/h . h/2 = c/2.

und das flächengrößte rechteck in einem rechtwinkligen dreieck
ist immer halb so hoch und halb so lang wie das dreieck. wie
lang genau kannst du nun anhand der konkreten zahlen
bestimmen:

c = Wurzel(8² + 5²)
die höhe des dreiecks ist dann h = 5 . sin alpha, wobei:

-----> wie kommst du auf die Höhe 5?

tan alpha = 8/5. alpha = arctan (8/5).
c = Wurzel(8² + 5²)
die höhe des dreiecks ist dann h = 5 . sin alpha.

hth
m.

Danke…

4

hi,
(ich versuch wieder mal, so was wie eine grundhöflichkeit zu kultivieren :wink:

wenn wir die dritte, waagrechte seite des dreiecks (die
hypotenuse) c nennen und die höhe auf sie h und das rechteck
einzeichnen, hast du 2 ähnliche dreiecke. das ursprüngliche
und „das kleine“ mit der oberkante des rechtecks als
grundlinie. dann gilt:

h : c = (h - y) : x

—>bis hier hin alles klar…

dann hast du den grundansatz verstanden.

denn h - y ist die höhe des kleinen dreiecks und x seine
grundlinie / hypotenuse.

umgeformt:

x = c/h . (h - y)

------> diese Umformung versteh ich nicht.
eventuell weil ich nicht genau weiß was der punkt dazwischen
ist, aber laut meiner umformung müsste doch egentlich
x= (h-y) / h/c sein oder nicht?
und nicht c/h?

das ist das gleiche. wenn du im nenner durch c dividierst, ist das wie mit c multipliziert. doppelbrüche usw.

und F = c/h . (h - y) . y = c/h . (hy - y²)

das leitest du ab und setzt die ableitung F’ = 0:

F’ = c/h . (h - 2y) = 0

also: h - 2y = 0

y = h/2.

x = c/h . h/2 = c/2.

und das flächengrößte rechteck in einem rechtwinkligen dreieck
ist immer halb so hoch und halb so lang wie das dreieck. wie
lang genau kannst du nun anhand der konkreten zahlen
bestimmen:

c = Wurzel(8² + 5²)
die höhe des dreiecks ist dann h = 5 . sin alpha, wobei:

-----> wie kommst du auf die Höhe 5?

hab ich nicht gesagt. h = 5 mal sin alpha.
der punkt ist ein multiplikationspunkt.

hth
m.

5

denn h - y ist die höhe des kleinen dreiecks und x seine
grundlinie / hypotenuse.

umgeformt:

x = c/h . (h - y)

------> diese Umformung versteh ich nicht.
eventuell weil ich nicht genau weiß was der punkt dazwischen
ist, aber laut meiner umformung müsste doch egentlich
x= (h-y) / h/c sein oder nicht?
und nicht c/h?

und F = c/h . (h - y) . y = c/h . (hy - y²)

-----> wieso bekommt hier das c/h kein y ab?
ich mein x=c/h*h-y und F=x*y --> (c/h*(h-y))*y --> c/hy*hy*y^2 oder ist da irgendeine Bruchregel die da gegen spricht? ich komm mit brüchen nicht so wirklich klar ?:wink:

und, geht das ganze nicht auch ohne Strahlensatz?..

das leitest du ab und setzt die ableitung F’ = 0:

F’ = c/h . (h - 2y) = 0

also: h - 2y = 0

y = h/2.

x = c/h . h/2 = c/2.

6

hi,

und F = c/h . (h - y) . y = c/h . (hy - y²)

-----> wieso bekommt hier das c/h kein y ab?
ich mein x=c/h*h-y und F=x*y --> (c/h*(h-y))*y -->
c/hy*hy*y^2 oder ist da irgendeine Bruchregel die da gegen
spricht? ich komm mit brüchen nicht so wirklich klar ?:wink:

das scheint mir auch so. ist vielleicht nbisschen training nötig.
allgemein: achtung! „punktrechnung vor strichrechnung“

(h - y) / x = h / c … auf beiden seiten mal x
h - y = x . h / c … auf beiden seiten mal c
c . (h - y) = x . h … auf beiden seiten durch h
c/h . (h - y) = x

F = x . y
F = c/h . (h - y) . y

reinmultiplizieren:
F = c/h . (hy - y²)

da „bekommt das c/h kein y ab“…

und, geht das ganze nicht auch ohne Strahlensatz?..

nö, nicht wirklich. der strahlensatz ist das eigentliche thema der aufgabe.

m.