Rechtwinklige Dreiecke

Wissenschaft Mathematik
#1

Ich komme bei einer Aufgabe in meinem Buch nicht ganz weiter.

„Begründe, dass das Dreieck mit den Seitenlängen 16cm, 62cm, 64cm nicht rechtwinklig ist. Ändere eine Seite so ab, dass es rechtwinklig wird. Gibt es verschiedene Möglichkeiten?“

„Überprüfe rechnerisch, ob Dreiecke mit diesen Seitenlängen rechtwinklig sind. (I) 8cm,15cm,17cm (II) 1dm,13cm,17cm (III) 20m,99m,101m (IV) 36km,77km,83km“

Also ich weiß, dass rechtwinklige Dreiecke die Eigenschaft ausmacht, dass sie einen rechten Winkel besitzen. Aber wie erkennt man an den Seitenlängen ob ein Dreieck rechtwinklig ist?

Danke :smile:

#2

Hi,

Satz des Pythagoras (http://de.wikipedia.org/wiki/Satz_des_Pythagoras)

Einfach beiden kürzeren Längen ins Quadrat nehmen und vergleichen, ob die Summe dem Quadrat der längsten Seite gleich ist.

In deinem Beispiel also 16^2+62^2=256+3844=4100 und 64^2=4096 also nicht gleich, also nicht rechtwinklig. Damit es rechtwinklig wird müsste die längere Seite Wurzel von 4100 sein, oder die anderen so abändern dass die Summe der Quadrate eben 4096 wird.

Gruß

#3

Hallo,
rechtwinklige Dreiecke haben die Eigenschaft, dass die Summe der Quadrate der beiden kürzeren seiten dem Quadrat der längeren (Hypothenuse) entspricht. (Satz d Pythagoras) a² + b² = c²
im ersteren Beispiel ist das niicht der Fall.
Es gibz drei möglichkeiten, die bedingung zu erfüllen, aber es geht wohl eher um ganzzahlige seitenlängen.
da klappt es mit 16cm, 63cm und 65 cm

Bsp 1 ist auch rechtwinklig, bsp 2 nicht, den rest kannst du selber rechnen, oki?

viel spass noch

#4

a) das sind zwei aufgaben.

b) schon mal vom satz des pythagoras gehört?

#5

Liebe Dalila,

ich weiß nicht, in welcher Klasse du bist,
aber das ist eigentlich einfach zu prüfen, ob die Dreiecke rechtwinkelig sind.

Habt ihr in der Schule irgendwas von „Pythagoras“ gehört?
Mit diesem Satz kann man die Rechtwikeligkeit prüfen.

Dieser Satz lautet:
(die Länge der längsten Seite)^2 = (die Länge einer Seite)^2 + (die Länge der anderen Seite)^2

* mit „^2“ meine ich, hoch 2 oder Quadrat

Dieser Satz besagt, wenn die Gleichung übereinstimmt, dann ist der Winkel zwischen den beiden kleinen Seiten rechtwinkelig.

zB:
die eine Aufgabe von dir lautet doch

„Begründe, dass das Dreieck mit den Seitenlängen 16cm, 62cm,
64cm nicht rechtwinklig ist. Ändere eine Seite so ab, dass es
rechtwinklig wird. Gibt es verschiedene Möglichkeiten?“

Also wie muss die Gleichung aussehen?

16^2 + 62^2 = 64^2

Stimmt das?
256 + 3844 = 4096
nein, denn 256 + 3844 ergibt 4100.

Also dieser Dreieck hat keinen Rechtwinkel.

Dann sollst du jetzt eine Seitenlänge ändern, damit es doch einen Rechtwikel gibt.

Pass auf,
64^2 lautet doch 4096.
Aber 16^2 + 62^2 ist 4100, also du musst eine Seite einbißchen verkürzen.
Um es genau zu rechnen, verwendest du folgende Gleichung.

x^2 + 62^2 = 64^2
x^2 + 3844 = 4096
x^2 = 4096 - 3844
x^2 = 252
x = Wurzel aus 252

Verstehst du die Renung?
Ich habe quasi die Länge 62cm und 64cm so sein lassen und versucht, die 16cm länge Seite zu verkürzen.
Natürlich kannst du auch die 62cm und 64cm länge Seite und verkürzen, indem du bei der oberen Gleichung eine von den beiden Zahlen (62 oder 64) als unbekannte x nimmst.

Also die 2. Möglichkeit:
16^2 + x^2 = 64^2
256 + x^2 = 4096
x^2 = 4096 - 256
x^2 = 3840
x = Wurzel aus 3840

Die 3. Möglichkeit:
16^2 + 62^2 = x^2
256 + 3844 = x^2
4100 = x^2
x = Wurzel aus 4100

Ich habe leider grad keinen Taschenrechner, deswegen kann ich den Wurzel nicht rechnen.
Mach du das mal und vergleiche mit Lösung.

Die letzte Frage haben wir eigentlich schon.
Merkst du das?
Man kann die Länge aller Seiten verändern, damit es einen Rechtwinkel gibt. Also man hat 3 Möglichkeiten.

Ich hoffe, es hat dir weiter geholfen!

Das Wichtigste war, bei solchen Aufgaben zu erkennen, dass man den Pythagoras anwenden muss.
Merk dir den Satz, denn er kann bei sehr vielen unterschiedlichen Aufgaben vorkommen.

Gruß

#6

Hallo dalila,

die Lösung liegt im Satz des Pythagoras, welcher besagt, dass in einem rechtwinkligen Dreieck die Quadrate der kürzeren beiden Seiten (Katheten) gleich dem Quadrat der längsten Seite (Hypothenuse) ist.

In deinem ersten Beispiel müsste also mit a=16, b=62, c=64 die Aussage gelten: a^2+b^2=c^2. Das ist aber falsch. Somit ist das Dreieck nicht rechtwinklig.

Es gibt nun drei Möglichkeiten, eine der drei Seitenlängen so zu ändern, dass die Formel gültig ist.

Für die anderen Beispiele kannst du somit selbst überprüfen, ob die Bedingung erfüllt ist!

Das ganze ist auch sehr schön nachzulesen bei Wikipedia, unter dem Stichwort „Satz des Pythagoras“.

Mit freundlichen Grüßen,
Tigonaut