Hallo, ich habe eine Frage zu den reellen Zahlen.
Die reellen Zahlen wurden ja definiert, weil man bemerkt hat, daß es Zahlen gibt, die nicht rational sind, z. B. x als Lösung der Gleichung x2=2.
Die reellen Zahlen können nun wieder in verschiedene Gruppen unterteilt werden. Z. B. sind die rationalen Zahlen eine Teilmenge der reellen Zahlen.
Eine weitere Teilmenge ist zum Beispiel die Menge der reell-algebraischen Zahlen (reelle Lösungen von Polynomen mit ganzzahligen Koeffizienten) oder die Teilmenge der transzendenten Zahlen (z. B. Pi oder die Eulersche Zahl).
Nun komme ich zur eigentlichen Frage. Mich interessiert die Antwort auf die Frage, ob es reelle Zahlen gibt, die nicht darstellbar sind, d.h. ob es reelle Zahlen (=Punkte auf einer Geraden gibt), deren analytische oder geometrische Beschreibung dermaßen umfänglich ist, daß sämtliche menschlichen und technologischen Ressourcen nicht ausreichen, um diese Beschreibung überhaupt darzustellen oder ob z. B. durch rekursive Definitionen immer wieder solche Vereinfachungen möglich sind, daß auch die schwierigsten Fälle faßbar sind.
Wenn aber rekursive Vereinfachungen denkbar sind, dann sind noch komplexere Bildungszusammenhänge für die betreffenden reellen Zahlen ebenso denkbar und immer so weiter. Diese Frage ist so etwas wie das Gegenstück zu der Frage nach dem Huhn und dem Ei. Hat jemand eine Idee, wie dieses Problem logisch formal beantwortet werden könnte ? Kann man eventuell wenigstens die Unentscheidbarkeit dieses Problems beweisen ?
Hallo!
(Ohne das jetzt mathematisch korrekt beweisen zu können:smile:
Natürlich gibt es solche Zahlen. Stell Dir einen Affen vor, der einen 10seitigen Würfel hat, und seit Anbeginn der Zeit bis zum Ende der Welt nichts anderes macht, als Ziffern einer Zahl auszuwürfeln. Die Zahl, die er bildet (beginnend mit 0,…) hat genau die von Dir geforderte Eigenschaft: Sie lässt sich nicht geschlossen (nicht einmal rekursiv) darstellen.
Michael
Hallo Torsten,
das ganze ist ein Denkfehler. Alle diese Zahlen haben eine eindeutige (wenn auch teils unendlich lange) Darstellung zB als Dezimalbruch. Du könntest aber auch eine andere Zahlenbasis wählen, bei der deine „unerreichbare“ Zahl den Status von unserer 1 hätte…
Anders ausgedrückt: alle Lebewesen im Universum gemeinsam von Beginn bis zum Ende der Zeit werden niemals, selbst wenn sie es wollten, alle natürlichen Zahlen aufschreiben, sagen, denken etc können, weil alles was existiert (und zB positives Volumen hat/positive Zeit benötigt) endlich sein muss. Dennoch wirst du mir zustimmen, dass es keinen Sinn macht, bei den natürlichen Zahlen irgendwo „Stopp!“ zu sagen, nach dem Motto „bis hierhin und nicht weiter…“. Das ganze hat also auch nichts mit reell vs rational etc zu tun. Dieser Gedankenansatz ist m.E. wenig sinnvoll.
Viele Grüße!
mauschu
Hallo!
(Ohne das jetzt mathematisch korrekt beweisen zu können:smile:
Natürlich gibt es solche Zahlen. Stell Dir einen Affen vor,
der einen 10seitigen Würfel hat, und seit Anbeginn der Zeit
bis zum Ende der Welt nichts anderes macht, als Ziffern einer
Zahl auszuwürfeln. Die Zahl, die er bildet (beginnend mit
0,…) hat genau die von Dir geforderte Eigenschaft: Sie lässt
sich nicht geschlossen (nicht einmal rekursiv) darstellen.
Wie wäre es mit:
x = ∑i>=1 ai/10i
ai = i-tes Würfelergebnis
Gruß
Oliver
Hallo Torsten.
Nun komme ich zur eigentlichen Frage. Mich interessiert die
Antwort auf die Frage, ob es reelle Zahlen gibt, die nicht
darstellbar sind […].
Die reellen Zahlen sind überabzählbar. Jede mathematische Darstellung oder natürlichsprachige Beschreibung einer reellen Zahl muß aber mit einem endlichen Zeichenvorrat auskommen. Daher kann es nur abzählbar viele Darstellungen oder Beschreibungen von Zahlen geben. Folglich ist die Menge der reellen Zahlen mächtiger als die Menge der darstellbaren Zahlen, also gibt es auch reelle Zahlen, die „unbeschreiblich“ sind.
Gruß,
Ralf
Hallo!
Wie wäre es mit:
x = ∑i>=1 ai/10i
ai = i-tes Würfelergebnis
Dafür müsstest Du die Koeffizienten ai a priori kennen. Da der Würfelwurf aber ein vollkommen zufälliges Ergebnis hat, bringt Deine Formel nicht viel: Du musst trotzdem unendlich oft würfeln.
(Im Prinzip läuft meine Idee aufs Gleiche raus, wie der Gedanke von Ralf, der das natürlich viel eleganter ausgedrückt hat).
Michael
Dafür müsstest Du die Koeffizienten ai a priori
kennen.
Für die bloße Darstellung ist das egal.
Davon abgesehen:
Wenn die Koeffizienten nicht bekannt sind, dann ist diese Zahl überhaupt nicht definiert.
Gruß
Oliver
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Davon abgesehen:
Wenn die Koeffizienten nicht bekannt sind, dann ist diese Zahl
überhaupt nicht definiert.
Drücken wir es so aus: Es gibt Zahlen, deren Definition nicht mit einer endlichen Anzahl von Zeichen, Ziffern oder dergleichen angegeben werden kann.
Und ich glaube, das war die Antwort auf die Eingangsfrage.
Michael
Also sind die reellen Zahlen von vorherein so etwas wie Käse: etwas sehr Brauchbares mit Löchern. Die Löcher gehören zum Käse, obwohl dort gerade kein Käse ist.
[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]
Hallo,
Folglich ist die Menge
der reellen Zahlen mächtiger als die Menge der darstellbaren
Zahlen, also gibt es auch reelle Zahlen, die „unbeschreiblich“
sind.
Das versteh ich nicht: meines Wissens sind dir Reellen Zahlen doch abgeschlossen !
Peter
Hallo zurück
Folglich ist die Menge
der reellen Zahlen mächtiger als die Menge der darstellbaren
Zahlen, also gibt es auch reelle Zahlen, die „unbeschreiblich“
sind.
Das versteh ich nicht: meines Wissens sind dir Reellen Zahlen
doch abgeschlossen !
Abgeschlossen bezüglich was? Bezüglich z.B. der „normalen“ Verknüpfungen wie Addition und Multiplikation schon, bei der Exponentiation hört’s schon auf: (-1) hoch 0,5 ist keine reelle Zahl mehr.
Unabhängig davon ist die Berechenbarkeit eine ganz andere Sache. Jede aufgeschriebene Zahl, jeder Name für eine Zahl (wie Pi, e oder „Wurzel aus 5“) und jede Rechenvorschrift ist endlich. Damit hast Du aber nur abzählbar unendlich viele Möglichkeiten, eine Zahl irgendwie zu beschreiben. Da die reellen Zahlen nicht abzählbar sind, muß es relle Zahlen geben, die wir nicht „in Worte fassen“ können und auch nicht durch eine Funktion oder einen Algorithmus beschreiben können. Schau Dir mal Cantors Diagonalisierungsbeweis für die Überabzählbarkeit an, der läßt sich auch auf die Berechenbarkeit übertragen.
Gruß,
Ralf