Hallo Neo!
Ich schau mal, ob ich Dir helfen kann.
Reflexive Relation: ist das eine reflexive Relation
A={1,2,3,4,5} und B={2,4,5,6,7}
-> aRb={(2,2) (4,4) (5,5)}
Nein. Aber „fast“ – Du hast nur etwas Entscheidendes vergessen:
Eine Relation R in AxA ist reflexiv, wenn für jedes x aus A gilt: xRx.
Das geht aber in Deinem Beispiel nicht, denn in Deinen Zahlenpaaren kommt die erste Zahl aus A, die zweite aus B. Nach der Definition sind aber in einer reflexiven Relation beide Elemente aus ein und derselben Menge.
Eine reflexive Relation auf A wäre also z.B. R={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5)}.
Die Definition sagt aber nur: Die Paare (x,x) müssen dabei sein. Sie sagt nicht, was da noch so alles in der Relation sein darf.
Also ist z.B. auch {(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(1,5),(2,3)} eine reflexive Relation auf A.
dann symmetrische Relation:
aRb={(1,2) (2,1) (2,4) (4,2) (2,5) (5,2)} ist das so
korrekt?
Auch das geht nur auf einer Menge: Wenn (x,y) in der Relation ist, so soll auch (y,x) in der Relation sein. Damit müssen aber x (der erste Eintrag von (x,y)) und y (der erste Eintrag von (y,x)) in derselben Menge liegen.
Die oben angegebene Relation ist also eine symmetrische Relation auf A, auf B und auf der Schnittmenge; aber eine symmetrische Relation in AxB – das kann nicht sein.
bei antisymmetrie und transitiv weiß ich nicht wie man das
umsetzen soll.
Nehmen wir Antisymmetrie: Wenn (x,y) und (y,x) in der Relation sind, dann ist x=y. Oder anders gesagt: Wenn x und y verschieden sind, können (x,y) und (y,x) nicht beide in der Relation sein. Eins von beiden geht natürlich.
Z.B. ist {(1,1),(1,3),(3,2),(5,5)} eine antisymmetrische Relation auf A.
Wir können jetzt noch z.B. (1,2) dazunehmen, kein Problem.
Aber wenn wir noch (3,1) hinzufügen, ist die Relation nicht mehr antisymmetrisch – denn dann wären (3,1) und (1,3) in R, obwohl 1 nicht gleich 3 ist.
Nun zur Transitivität: Wenn (x,y) und (y,z) in meiner Relation liegen, dann ist auch (x,z) drin. Fangen wir also wieder mit der Relation von eben an:
{(1,1),(1,3),(3,2),(5,5)}.
Diese Relation ist nicht transitiv, denn (1,3) und (3,2) sind drin, aber (1,2) nicht. Wenn wir (1,2) noch dazunehmen:
{(1,1),(1,2),(1,3),(3,2),(5,5)},
dann ist die Relation transitiv.
ist das eine Äquivalenzklasse: wenn ich die gesamten
Primzahlen dieser menge herausschreibe? A={1,2,3,4,5,6}
also A={2,3,5} ??
Das kann eine Äquivalenzklasse sein, wenn Du die passende Äquivalenzrelation dazu hast. Formulieren wir:
(x,y) in R : x,y sind beide prim oder beide nicht prim,
so ist das eine Äquivalenzrelation, deren Äquivalenzklassen {2,3,5} (prim) und {1,4,6} (nicht prim) sind.
Auch die Äquivalenzrelation
(x,y) in R : x,y haben dieselbe Anzahl von Teilern
besitzt die Äquivalenzklasse {2,3,5} (zwei Teiler), und hinzu kommen noch {1} (nur ein Teiler), {4} (drei Teiler) und {6} (4 Teiler).
Du kannst zu jeder Teilmenge M von A eine Äquivalenzrelation finden, so dass M eine Äquivalenzklasse von A ist. Nehmen wir die Menge A={Brot, Butter, Eier, Milch} und die Teilmenge M={Brot, Milch}. Dann ist R={(Brot,Brot),(Brot,Milch),(Milch,Brot),(Butter,Butter),(Eier,Eier),(Milch,Milch)} eine Äquivalenzrelation auf A, und M ist eine der drei Äquivalenzklassen.
Und kann mir jemand bitte erklären was ein
Repräsentantensystem ist?
Nehmen wir mal eine Äquivalenzrelation her: A={Punkte in der Ebene ohne den Ursprung}, R={(P,Q) mit der Eigenschaft: P und Q liegen auf derselben Ursprungsgeraden}.
Jetzt könntest Du erst mal zeigen, dass dies eine Äquivalenzrelation ist; aber wenn die Definition die Formulierung „derselbe“ enthält, ist das eigentlich offensichtlich. (Allerdings – wenn ich hier den Koordinatenursprung zulasse, ist es keine Äquivalenzrelation mehr!)
Nun suchen wir Äquivalenzklassen. Nehmen wir uns zunächst den Punkt P=(1,1). Auf derselben Ursprungsgeraden liegen z.B. (5,5), (-2,-2), (π,π) und (-Wurzel(2),-Wurzel(2)), also alle Vielfachen von (1,1). Die bilden eine Äquivalenzklasse {P=(x,y) mit x=y}, also die Ursprungsgerade durch (1,1).
Nun nehmen wir z.B. P=(0,1). Der liegt auf einer Ursprungsgeraden mit (0,5), (0,-2), (0,π) und (0,-Wurzel(2)). Die entsprechende Äquivalenzklasse ist dann {P=(x,y) mit x=0}, also die y-Achse.
Wenn wir jetzt so weiter machen, sehen wir, dass die Äquivalenzklassen die Ursprungsgeraden sind.
Nun stellt sich die Frage: Wie schreibt man das schön hin? Wollte ich die Menge der Äquivalenzklassen angeben, so hätte ich eine Menge von Mengen. Und das sieht nicht nur hässlich aus, es rechnet sich auch nicht schön mit Mengen.
Also nehme ich aus jeder Äquivalenzklasse nur einen Punkt her.
In unserem Beispiel könnte ich das z.B. dadurch bewerkstelligen, dass ich aus jeder Gerade den Punkt nehme, bei dem x=1 ist. (Ich darf dann aber die Gerade x=0 nicht vergessen, die ist die einzige, auf der kein Punkt mit x=1 liegt.)
Nehme ich also die Menge M:=({(1,y) mit y reell} vereinigt mit {(0,1)}), so beschreibt jedes Element aus M genau eine Äquivalenzklasse, und jede Äquivalenzklasse kommt auch nur einmal vor.
Eine Menge M mit dieser Eigenschaft (ich habe alle Äquivalenzklassen durch genau ein Element angegeben) heißt Repräsentantensystem der Äquivalenzrelation.
Ich hoffe geholfen zu haben.
Liebe Grüße
Immo