Regression eines Polynom 3. Grades

Wissenschaft Physik
#1

Hallo zusammen,

ich schreibe gerade an meiner Diplomarbeit und leider kann mir momentan niemand weiterhelfen, wobei ich glaube kurz vor der Lösung zu stehen.

Ich habe folgende 12 emprische Daten aus dem ich mittels der kleinsten quadratischen BAweichung ein Polynom 3. Grades regressieren möchte:
x y
1 6,33
2 5,52
3 -11,96
4 -17,49
5 -35,86
6 -90,62
7 -140,06
8 -204,31
9 -277,89
10 -312,01
11 -307,64
12 -323,41

dabei bin ich folgendermaßen vorgegangen:
R = ∑ ((∑ai(xj)i)-yj)2

  1. Aufstellung des zu minimierenden Terms

  2. Ausmultiplizieren des Terms
    R = ∑ (x0a0)2+(x1a1)2+ (x2a2)2+(x3a3)2+
    2 [ (x0a0)(x1a1)+(x0a0)(x2a2)+(x0a0)(x3a3)+(x1a1)(x2a2)+(x1a1)(x3a3)+
    (x2a2)(x3a3)] - 2y (x0a0 +x1a1+ x2a2 +x3a3) + y²

  3. Partiell ableiten nach a0-a4
    da0 = ∑ 2(x0a0)+2(x0x1a1)+2(x0x2a2)+2(x0x3a3) – 2x0y
    da1 = ∑ 2(x1a1)+2(x1x0a0)+2(x1x2a2)+2(x1x3a3) - 2 x1y
    da2 = ∑ 2(x2a2)+2(x2x0a0)+2(x2x1a1)+2(x2x3a3) - 2 x2y
    da3 = ∑ 2(x3a3)+2(x3x0a0)+2(x3x1a1)+2(x3x2a2) - 2 x3y

Ich denke die Formel ist richtig aufgestellt und beim ausmultiplizieren oder ableiten müsste ein Fehler sein. Wäre super, wenn mir jmd helfen könnte, bin gerade echt am verzweifeln.

Danke

Jenny

#2

Hallo,

irgendwie verstehe ich was nicht ganz … was sollen die Indizes bei den x-Werten? Das Polynom ist doch

y = a3x3 + a2x2 + a1x + a0

Oder?

Olaf

#3

Ja genau, das sollen auch keine Indizies sondern Hochzahlen, im Qord sah das bei mir eben noch anders aus… weiß nur nicht wie man hier was als Hochzahl darstellt :frowning:

Hallo,

irgendwie verstehe ich was nicht ganz … was sollen die
Indizes bei den x-Werten? Das Polynom ist doch

y = a3x3 +
a2x2 +
a1x + a0

Oder?

Olaf

#4

Moin moin,

also ich habe die linearen gleichungen mal aufgestellt und komme zu folgender form (abweichend von deiner):

d/da0 = 2x0^0*SUMi=1…m(1+a1x1^1+a2x2^2+a3x3^3-yi)
d/da1 = 2x1^1*SUMi=1…m(1+a0x0^0+a2x2^2+a3x3^3-yi)
d/da2 = 2x2^2*SUMi=0…m(1+a0x0^0+a1x1^1+a3x3^3-yi)
…

ab hier ist die Systematik - glaube ich - erkennbar!

Ist n ziemlicher Wust, ich hatte mal im Studium in gleicher Weise im Zusammenhang mit Least Squares Methode lineare Gleichungen aufgestellt - im Grunde ja immer dieselben - und selbst im Lehrbuch warn Fehlerteufel bei den Gleichungen…

Aus Systematikgründen habe ich x0^0(=1) beibehalten
im Übrigen bedeutet halt z.B. a1x1^1 a1-mal-x1-hoch-1 etc.

Ciao, Joachim

#5

oops nochn fehler
d/da1 = 2a1x1^2*SUM…
d/da2 = 2a2x2^4*SUM…
d/da3 = 2a3x3^6*SUM…

Unglücklich ist bei Deiner Darstellung halt, daß Du die Indizes bzw. die hochzahlen abkürzt…

P.S. Die Maximum Likelihood-Methode würde hier grundsätzlich zu dem selben Ergebnis führen…witzig, gell?

#6

Ja meine Darstellung ist zugegebnermaßen sehr unglücklich… hab alles im Ecxel gemacht und einfach rüberkopiert…

Aber ich habe jetzt ein Fehler ind der partiellen Ableitung gefunden und meine Lösung sind jetzt folgende Parameter:

Parameter
a0 -59,26
a1 68,37
a2 -17,52
a3 0,83

was kommt denn bei der Likeli-Hood Methode raus???

#7

Ich habe folgende 12 emprische Daten aus dem ich mittels der
kleinsten quadratischen BAweichung ein Polynom 3. Grades
regressieren möchte:
x y
1 6,33
2 5,52
3 -11,96
4 -17,49
5 -35,86
6 -90,62
7 -140,06
8 -204,31
9 -277,89
10 -312,01
11 -307,64
12 -323,41

Da ich sowas mal des öfteren tun musste, habe ich dafür ein kleines Tool geschrieben:

http://www.drstupid.de/NLR.html

Das beherrscht nicht nur polynomische Regressionen, sondern findet die Parameter für Linearkombinationen beliebiger Funktionen, solange sie sich mit dem Math-Objekt von JavaScript formulieren lassen.

Die Lösung erfolgt über die Minimierung der Fehlerquadratsumme

Σi[Σkpifi(xk)-yk]2

Die Ableitung nach den einzelnen Parametern führt dabei zunächst zum linearen Gleichungssystem

Σi[pi·Σkfi(xk)·Σfj(xk)] = Σkfj(xk)·yk

und das löse ich dann mit dem Gauss-Algorithmus.

dabei bin ich folgendermaßen vorgegangen:
R = ∑((∑ai(xj)i)-yj)2

In meinem Algorithmus wäre das der Spezialfall fi(x)=xi mit i=0,1,2,3. In der Spalte „functions“ müsstes Du also 1, x, x*x und x*x*x eingeben.

#8

Ja meine Darstellung ist zugegebnermaßen sehr unglücklich…
hab alles im Ecxel gemacht und einfach rüberkopiert…

Aber ich habe jetzt ein Fehler ind der partiellen Ableitung
gefunden und meine Lösung sind jetzt folgende Parameter:

Parameter
a0 -59,26
a1 68,37
a2 -17,52
a3 0,83

Stimmt!
y = 0,83083916x^3 - 17,51409590x^2 + 68,34590410x - 59,25363636
R2 = 0,98910784

Ermittel in Excel mittels xy-Diagramm und Trendlinie Polynom. Noch genauer kommt:

y = 0,10502149x^4 - 1,89971955x^3 + 5,96570841x^2 - 6,15934076x + 6,27977273
R2 = 0,99425584

Gruß HW
Hans W. Hofmann

#9

Danke für die Info! Das Trendlinienprogramm kenn ich, nur ich musste das jetzt eben auch händisch berechnen…

Grüße

Jenny