Hallo,
ist hier jemand in der Lage, mir zu erklären, wie ich die Regressionkurve für ein Polynom 2. Grades berechne? Ich habe hier zwar ein Buch liegen, in dem es u.a. um die polynomiale Regression geht, nur leider verstehe ich das überhaupt nicht. Wäre echt genial, wenn mir das jemand ganz simpel und Schritt für Schritt erläutern könnte!
Vielen Dank
Daniel
Hallo,
ich will es mal propieren:
Prinzip der Regression ist es, Parameter einer Funktion so zu bestimmen, dass die Summe des Abweichungsquadrate (SAQ) minimal wird.
Die SAQ ist ja die Summe der quadrierten Residuen
SAQ = SUMME( (y[i] - f(x[i]))² )
Bei einer Parabel ist f(x) = b[2]x²+b[1]x+b[0]; b[k] mit k=0,1,2 sind die Parameter, die es zu bestimmen gilt. Die SAQ ist dann
SAQ = SUMME( (y[i] - b[2]x[i]² - b[1]x[i] - b[0])² )
Man erhält die Werte für b[k] indem man die partiellen Ableitungen nach diesen Parametern gleich Null setzt. Allgemein ist die partielle Ableitung nach b[k] gegeben durch
d(SAQ)/d(b[k]) = -2*SUMME((y[i]-f(x[i]))*d(f)/d(b[k]))
Aus der Nullsetzung der Ableitung folgt
SUMME((y[i]-f(x[i]))*d(f)/d(b[k])) = 0
Was man jetzt noch braucht, sind also die part. Ableitungen von f nach b[k]. Für die Parabel sind das
k=2: d(f)/d(b[2]) = x[i]²
k=1: d(f)/d(b[1]) = x[i]
k=0: d(f)/d(b[0]) = 1
Wir erhalten also drei Gleichungen:
k=2: SUMME((y[i]-f(x[i]))*x[i]²) = 0
k=1: SUMME((y[i]-f(x[i]))*x[i]) = 0
k=0: SUMME((y[i]-f(x[i]))*1) = 0
bzw. mit f(x[i]) = b[2]x[i]²+b[1]x[i]+b[0] eingesetzt:
k=2: SUMME((y[i]-b[2]x[i]²-b[1]x[i]-b[0])*x[i]²) = 0
k=1: SUMME((y[i]-b[2]x[i]²-b[1]x[i]-b[0])*x[i]) = 0
k=0: SUMME((y[i]-b[2]x[i]²-b[1]x[i]-b[0])*1) = 0
die x[i] und y[i] sind ja alle bekannt, nur die drei Parameter b[2], b[1] und b[0] sind unbekannt. Es sind drei Gleichungen mit drei Unbekannten - das läßt sich ganz normal lösen.
VG
Jochen
Danke für die ausführliche Erläuterung. Jetzt ist es mir schon viel klarer!!