Wie würdet ihr eine Funktion ermitteln die z.B. A am besten so
voraussagt:
A= fix + b*B^1.4 + c*C^2 + d*D^1.2
Das geht sogar für beliebige Funktionen der Form
F \approx f^T p
In Deinem Fall wäre
F\left( {B,C,D} \right) = A
f\left( {B,C,D} \right) = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \
0 & {B^{1,4} } & 0 & 0 \
0 & 0 & {C^2 } & 0 \
0 & 0 & 0 & {D^{1,2} }
\end{pmatrix}
p = \left( {fix,b,c,d} \right)^T
Zur Bestimmung des Parametervektors muss das Optimierungsproblem
{\textstyle{1 \over 2}}\sum\limits_k {\left( {f_k^T p - F_k } \right)^2 \Rightarrow Min.}
gelöst werden. Das erfolgt wie gehabt, indem man die Ableitung nach den gesuchten Parametern Null setzt:
\sum\limits_k {f_k \cdot \left( {f_k^T p - F_k } \right)} = 0
und das Ganze nach nach den Parametern auflöst:
p = \left( {\sum\limits_k {f_k f_k^T } } \right)^{ - 1} \sum\limits_k {f_k F_k }
Das war es eigentlich schon und mit den Matrizenfunktionen von EXCEL ist das mit vertretbarem Aufwand zu berechnen. In Deinem Fall geht das aber noch einfacher, weil f bei Dir eine Diagonalmatrix ist. Wenn ich mich nicht verrechnet habe, dann gilt
fix = {{\sum\limits_k {A_k } } \over n}
b = {{\sum\limits_k {A_k \cdot B_k^{2,8} } } \over {\sum\limits_k {B_k^{2,8} } }}
c = {{\sum\limits_k {A_k \cdot C_k^4 } } \over {\sum\limits_k {C_k^4 } }}
d = {{\sum\limits_k {A_k \cdot D_k^{2,4} } } \over {\sum\limits_k {D_k^{2,4} } }}
