Hallo allerseits!
Habe gestern Mathe-klausur geschrieben, und zu einer Aufgabe find ich immer noch keine Lösung…
Ist diese Reihe Konvergent?
Sn!/n^n,
wobei S natürlich das Summeniechen ist :o)
Kann mir da wer weiterhelfen?
LG,
Helena
Hi Helena,
auf die Schnelle:
Ich würde sagen: nein!
Mittels Quotientenkriterium habe ich
herausgefunden, das die Reihe nicht
konvergent ist.
| n!/n^n : [(n+1)!/(n+1)^(n+1)] | =
| n!/n^n * (n+1)^(n+1)/(n+1)! | =
| n!/n^n * (n+1)^(n+1) / (n+1)n! | = // n! kürzen
| 1/n^n * (n+1)^(n+1)/(n+1) | = // (n+1) kürzen
| 1/n^n * (n+1)^n/1 | =
| (n+1)^n / n^n | =
| [(n+1)/n]^n | > 1
Sollte einleuchtend sein. Für die Konvergenz
muss |q|
Dochdochdoch!
kleiner Irrtum lieber Torsten, der mich schauffe Elle auch viel zu häufig passiert!
Du hast (an/an+1) berechnet, und damit, wenn mans richtig deutet, natürlich genau die Konvergenz bewiesen!
Alors, tant mieux:
Hallo, Helena, ich schreibe diese Summen im bloßen Textformat immer so:
Summe{n!/n^n},Non, aber n^n besteht aus n Faktoren n, also liegt ein Verschwinden der Summanden ->0 nahe.
Es gibt für die Konvergenz ja zwei Kriterien:
Wurzelkriterium und Quotienten-Kriterium
Beide beruhen auf dem Vergleich mit der geometrischen Reihe S{q^n}n–>oo, die ja immer konvergiert, wenn q (n/e)^n (Bei Stirling kommt da nurnoch ein Wurzelfaktor mit pi im Radikanten dazu!), dann sieht man:
nteWrz[n!/n^n] = nteWrz[n!]/n nteWrz[(n/e)^n]/n = 1/e oo, auf zweifache Weise betrachtet, nämlich als die mit dem Grenzwert e UND in ihrem geometrischen Mittel, nämlich als limes der nten Wurzel aus dem Produkt, das ja mit dem Faktor (1+1/1) = (1+1)/1 anfängt
und sich in den folgenden Produkten {(k+1^)^k/k^k}*{[k+2]^[k+1]/[k+1]^[k+1]}
gut nachrechnen!!! jeweils kürzt zu,… anschaulich einfacher so:
2/1 * (3/2)^2 * (4/3)^3 ***** —>
1(1*2*3*4*5*****n) * den Zähler des letzten Faktors = (1/n!)*(n+1)^n.
Und da davon die nte Wurzel gegen den gleichen Grenzwert e konvergiert, ist also
nteWrzauslim{(1/n!)*[n+1]^n} e also
lim{(1/n!)} = {e/[n+1]}^n, also gilt
n! —> {[n+1]/e}^n, —> ~~~~~~ (n/e)^n.
Der Unterschied zwischen dem n+1 und dem n hat eben den Wurzelfaktor in der Stirlingschen Formel zur Folge!!!
Ich hoffe, dir wengstens Anregunmgen gegeben zu haben!
Liebe Krüsse, Moinmoin, Manni
À bien, tôt!
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kleiner Irrtum lieber Torsten, der mich schauffe Elle auch
viel zu häufig passiert!
Du hast (an/an+1) berechnet, und damit, wenn mans richtig
deutet, natürlich genau die Konvergenz bewiesen!
Alors, tant mieux:
Huch, genau. Das passiert leider viel zu häufig.
Gut, das da nochmal jemand drüber geschaut hat.
Torsten
Hey! Vielen Danek für die schnelle Hilfe 
Das werde ich dann noch für die Nachklausur lernen :o)
LG,
Helena