kleine frage an alle interessierteInnen sicher kennt ihr:
Sum[1/n^a] mit 11
wir wissen diese Reihe konvergiert
Sum[1/n] divergiert
und auch Sum[1/(n*Log[n])]
Jetzt die frage gibt es eine kleinste nicht konvergente=divergente reihe dieser art??
frägt Martin
Anreihen, zB so (korrigiert)
Hallo, Martin!
Sum[1/n^a] mit 11
wir wissen diese Reihe konvergiert
Das sind „Eulersche Summen“ oder „Reihen“, die mit der Zetafunktion zusammenhängen, und vor allem mit viel Pi.
Für alle geraden Hochzahlen hat man ja die formel gefunden (Beweis für 2 unten!), nur für die ungeraden ist man immer noch auffer Suche, soweit mir bekannt.
S{1/m^4}–> pi^4/90 und zb S{1/m^10}–>pi^10/93555
Beweis für Zeta(2) = pi^2/6 über Hôpital:
Weil ja "Mathematiker 1+2 wissenschaftlich berechnen, nämlich mittels Hôpital, als1+2 = lim{([1+x]*[1+2x]-1)/x},x–>0, gilt auch:
S{1/m^2} = lim{{1-P{(1-x^2/m^2)}}/x^2},x>0 (Sinusprodukt!) oder auch „gammatisch“ geformt =
lim{{1-P{(m^2-x^2)/m^2)}}/x^2} = lim{{1-1/[G(1+x)*G(1-x)]}/x^2} =
lim{1-sinpix/pix]}/x^2},x->0 = Hôpi1
-(1/pi)*lim{(sinpix/x)´/2x} immer für x—>0 !!! =
-(1/pi)*lim{(pixcospix-sinpix)/x^2)/2x} =
-(1/2pi)*lim{(pixcospix-sinpix)/x^3} = Hôpi2
-(1/2pi)*lim{(picospix-pi^2xsinpix-picospix)/3x^2} =
(pi/2)*lim{(xsinpix)/3x^2} = Hôpi3
(pi/2pi)*lim{(sinpix)/3x} =
(pi/2)*lim{(picospix)/3} = Hôpi4
(pi^2)/6
P.S.: „picospix“ ist NICHT verwandt mit PecosBill!!!
Eher mit dem adligen Pisser.
Und die S{1/n^4} kann man zB auch noch leicht aus der ebigen Formel auf binomischem Wege (allerdings doch nicht ohne Koeffizientenvergleich mit der Sinusreihe) finden.
Aber eben, wie alle „gradgradigen“ Summen mittels der Gammafunktion und der Tatsache, der negativ-konjugierten
Zerlegbarkeit. Man muß nur vorher die unendliche Summe in ein unendliches Produkt verwandeln (natürlich nur „unter dem hôpitalischen Limes“ identisch.
Blätter doch bitte mal ein wenig im Archiv, wenn die Mods es für nicht löschenununwert gehalten haben tun.
Natürlich muß S{1/m^3} auch konvergieren, denn sie ist größer als S4 und kleiner als S2 (S{1/m^2}. Aber S§ narrt die Mathematen. Ihrt Wert ist bereits auf ca 15Mia Stwellen berechnet worden, aber keine Herleitung. ~1,202057…
Man vermutet irgebndwas so umme pi^3/sonstwas.
Lieber Krüsse, moinmoin, mathemanniganzmath
Proktor ser matt, M Jj
und auch Sum[1/(n*Log[n])] divergent? Bist du sicher? Und wenn ja, wo hast du das her? Ich bezweifle es in meiner Nativität.
Jetzt die frage gibt es eine kleinste nicht
konvergente=divergente reihe dieser art??
frägt Martin
Da man schon anS{1/m^3} nicxht analytisch rankommt, wie dann an S{1/m^1,1}???
leider gibt es ja auch keinen offensichtlichen Vergleich mit den Potenzreihen.
Weißu übergens, warum 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 +++++
gegen 2 konvergiert, auch ohne Hilfe von Achilles?
Na, weil von Stufe zu Stufe ja immer genau die Hälfte dazukommt von dem, was zu 2 noch fehlen tut.
Wie könnte da mehr als 2 bai reuthskommen?
Für Zeta3 haick schaman noilich erst hier was raingehängt, zum Bleistift meine gamma-Hôpitalformel.
Hilfßu mit?
Knackewn, meini?
Lieber Krüsse, moin
halli hallo manni schön dich wieder im forum begrüßen zu können!
Zetast du wieder ein wenig herum -trifft irgenwie zu?!
das mit S[1/n*Log[n]] haben wir in der vorlesung bzw Übung bewiesen, dass es divergiert; der Prof hat gemeint dass S[1/Log[Log[n]]] auch nicht konvergiert - wir machen das mit tests/kriterien - wir zetan nicht den grenzwert explizit heraus für uns reicht einstweilen, dass er existiert - 1.semester -
aber da du ja experte der zeta/gamma/beta funktion bist und dich mit de Hôpital auskennst kannst du mir sicher verständlich erklären was Hôpy so sagt ich hab den in der schule nur ansatzweise gestreift
wer das mit den summen weiss kann es mir ruhig verraten ich erzähls auch nicht weiter *g*
übrigns: Achilles der schnelle renner hätte eine chance theo schildkröte einzuholen wenn er sich mit Schrittlänge:
1/n*Log[Log[Log[n]]] annähert { ACHTUNG UNBEWIESEN }
PS GEB les ich gerade interessant !