Hi zusammen,
wie berechnet man Reihen…
wenn ich die Reihe habe, von n=0 bis infinity, summiert natürlich mit dem Sigmazeichen… (-1)^n/2^n
oder 1/(4n^2-1)
LG
Gammatische Alternative
Gammatische Alternative mithilfe von Hôpital für die 2te Reihe:
„G[x]“ ist dabei Gamma[x]
Bitte, liebe Fachmathen, übertragt das folgende ja „nur“ im Textformat geschriebene erst einmal in eure „eigene Schreibe“, in „richtige“ mathematische Sprache, vor allem, um es euch selber anzueignen!
Beachtet dabei auch meine der Übersichtlichkeit halber vorgenommene Zerlegung der Herleitung in allerkleinste Schritte!
Es geht um die Berechnung von
Summe{1/(4n^2 -1)},00
Im folgenden Weglassung von „x–>0“ (aus Platzgründen)
Zweiter Schritt der Vorbereitung der Gammafunktion,
T = lim{{1 - (1 - Summe{x/[n^2 -1/4]})}/x}
Transformation in ein Produkt (sorgfältig bedenken!):
T = lim{{1 - Prod{1 - x/[n^2 -1/4]}}/x} =
lim{{1 - Prod(n^2 -1/4 - x)/[n^2 -1/4])}/x}
Nun Linearfaktorzerlegung des Produktes:
Prod{(n^2 -1/4 - x)/[n^2 -1/4])} =
Prod{(n+Wrz[1/4+x])*(n-Wrz[1/4+x])/([n+1/2]*[n-1/2])} =
Nun wegen n–>oo Einsatz der Gammafunktion:
(G[1+1/2]*G[1-1/2])/(G[1+Wrz[x+1/4]]*G[1-Wrz[x+1/4]])
„Gammaregel“ G[1+x]*G[1-x] = xpi/sin[xpi] ergibt:
(pi/2sin[pi/2])/{piWrz[x+1/4]/sin(piWrz[x+1/4])} =
sin(piWrz[x+1/4]/2Wrz[x+1/4] RÜCKEINSETZUNG IN LIMES:
lim{{1 - Prod(n^2 -1/4 - x)/[n^2 -1/4])}/x} =
lim{{1 - sin(piWrz[x+1/4]/2Wrz[x+1/4]}/x} =
lim{{(2Wrz[x+1/4] - sin(piWrz[x+1/4])/2Wrz[x+1/4]}/x} =
lim{(2Wrz[x+1/4] - sin(piWrz[x+1/4])/2xWrz[x+1/4]}
NUN Anwendung von Hôpital:
lim{(2Wrz[x+1/4] - sin(piWrz[x+1/4])/2xWrz[x+1/4]} =
lim{(1/Wrz[x+1/4] - (pi/2Wrz[x+1/4])cos(piWrz[x+1/4])/
(2Wrz[x+1/4]+x/Wrz[x+1/4]} =
lim{(1 - (pi/2)cos(piWrz[x+1/4])/(2[x+1/4]+x)} =
lim{(2- pi*cos(piWrz[x+1/4])/(4[x+1/4]+x)} =
lim{(2- pi*cos(piWrz[x+1/4])/(5x+1)} und nun x–>0 ergibt 2/1 = 2
Also ist T = lim{{1 - Prod{1 - x/[n^2 -1/4]}}/x} = 2, also mit T = 4R = 4(S+1) = 2 ergibt sich
S = -1/2
Was zu zeigen war!
Diesen Beweis füge ich hier nur an, um eine recht noie und noch experimentelle Bewaismethode (noch ainmal) vorzustellen, mit der sich auch nur befassen zu wollen die in den vergangenen Jahren kontaktierten „professoralen“ und andere „Matheamtiker“ sich zu „gebildet“ zeigten.
Da ich inzwischen nurnoch DIESE Läute provozieren bzw veraigackern will, nicht aber euch alle, habe ich in meinem obigen Bewaisweg ziemlich auf ebensolche sprachlichen Experimente verzichtet.
Ich bitte herzlich vor allem die Moderatoren, diesen Aspekt zu bedenken, bevor sie wieder ainmal eine mainer Antworten aus welchen Gründen immer löschen wollen tun!
Lieber Krüsse, Aiche
Hallo,
danke erstmal für die ausführliche Antwort.
ich werde mich gleich damit befassen, habe es eben überflogen.
Wieso hast du bei dem ausführlicheren Beweis -0,5 raus und bei dem ersten +0,5?
LG
Hallo Shan,
wenn du Aikes ersten Beweis aufmerksam liest, wirst du feststellen, dass auch dort der Grenzwert -1/2 rauskommt. Die +1/2 beziehen sich auf den Fall, dass der erste Summand der Reihe fortgelassen wird.
Gruß
Jens
[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]
Hallo Aike,
ich hab mal 'ne Frage zur alternativen Gammatischen Methode.
An einer Stelle benutzt du folgende „Gleichheit“:
1-sum(1/(n^2-1/4), n=1…oo) = prod(1-1/(n^2-1/4), n=1…oo).
Abgesehen von der Tatsache, dass diese Gleichheit nicht ganz stimmt (es besteht eine Differenz von 2*Pi/G[sqrt(5)/2]/G[-sqrt(5)/2]/5-1=0.8379…), wie kommt man darauf? Gibt es denn eine Menge bekannter Folgen f:N->C, für die
1-sum(f(n), n=1…oo) = prod(1-f(n), n=1…oo) gilt?
f(n)=1/(n^2-1/4) gehört ja offenbar nicht dazu.
Oder hab ich da was nicht sorgfältig genug bedacht?
Wäre nett, wenn du mir das erklären könntest.
Vielen Dank
Viele Grüße
Jens
[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]
Mal total off topic, aber neugierig
Liebe® Aike/Aiche/Ani/Manni/Dilda/etc.
Warum wechselst Du eigentlich im Wochentakt Deine email-Adresse, Deinen Namen und mitunter sogar Dein Geschlecht?
Fragt sich
Fritze
Gammatische Alternative
Hallo, Jens, hallo Froinde der Mathematik (Mars, schau bitte glaich nach ganz unten!!!)
„ich hab mal 'ne Frage zur alternativen Gammatischen Methode.
An einer Stelle benutzt du folgende „Gleichheit“:
1-sum(1/(n^2-1/4), n=1…oo) = prod(1-1/(n^2-1/4), n=1…oo).“
Bitte, wo schrieb ich: „1-sum(1/(n^2-1/4), n=1…oo) = prod(1-1/(n^2-1/4), n=1…oo).“???
Es scheint hier üblich zu sein bei ainigen von uns lieben Mitmathematen, laicht überfordert zu sain von „exaktem Lesen“. Naja, ich lege ja auch immer sovalle Fillen, quasi-Bärlinerisch spoken.
Lese bitte nach, ICH SCHRIEB GENAU:
„T = Summe{x/[n^2 -1/4]}/x =
lim{Summe{x/[n^2 -1/4]}/x},x–>0
Im folgenden Weglassung von „x–>0“ (aus Platzgründen)
Zweiter Schritt der Vorbereitung der Gammafunktion,
T = lim{{1 - (1 - Summe{x/[n^2 -1/4]})}/x}
Transformation in ein Produkt (sorgfältig bedenken!):
T = lim{{1 - Prod{1 - x/[n^2 -1/4]}}/x} =
lim{{1 - Prod(n^2 -1/4 - x)/[n^2 -1/4])}/x}“
LIMES!!! für x—>0 !!!
DU HAST DA ALSO ETWAS AUS SAINEM ZUSAMMENHANG GERISSEN!!! Die Identität gilt natürlich nur „unter dem Limes x–>0“, weswegen ja gerade der Hôpital hier positief graifen tut!!!
ZUR THEORIE:
Die Identität (DOCH, DOCH!!!) fand ich ERST SPÄT AUF AINFACHE WAISE (siehe weiter unten, 2ter Teil!!!), aber zunächst über eine Überlegung nach Art der literarisch üblichen Herleitung der (endlichen!!) Summenformeln für Potenzen der natürlichen Zahlen Summe{m^k},1oo, und das hatte ich „hôpitalogen“ vorbereitet durch Ersätzung n = 1/x mit x–>0 (und da war meine Brücke zur besseren zweiten Methode, siehe unten!!!) zu
lim{(1/x)*lnProd{(1+x*ak)}},x–>0 =
lim{(lnProd{(1+x*ak)}/x},x–>0 wobei sich ja das im Zetafalle unendliche Produkt „gammatisch wenden(ausdrücken) läßt, und dann Hôpital!!!“
Also, den Ainstieg in die gesamte Angelegenheit fand ich tatsächlich über die UNENDLICHEN (ZETA) SUMMEN, dann erst gelang die anschaulichere Methode (siehe unten „Zweiter Weg“) und auch ihre Anwendung auf endliche Potenzsummen.
Oiler und Konsorten haben sich ja um die „Eulersche Zahl“ und v.a. um die Ainführung der Imaginären Ainhait inne Mathematik sehr verdient und auch zur Methode der Entwicklung der obigen (endlichen) Summenformeln folgende Überlegung gemacht:
Summe{m^k},1oo (Potenzreihendefinition von e^x) und
{e^([n+1]x) - 1}/{e^x - 1} gleich
e^[nx] + e^[n-1]x + e^([n-2]x) +++++ 1 („binomische“ Polynomdivision) =
1+ e^[1x] + e^[2x] + e^[3x] +++++ e^[nx]
und das wird aufgrund der Potenzreihendefinition von e^x eben zu:
[n+1]*1 + (1+2+3+++n)x/1 + (1+4+9++++n^2)*x^2/2 ++++++++
wo ja jeder kte Koeffizient die (gesuchte) Summer der kten Potenmzen der natürlichen Zahlen ist!
Zeichgleitig ist aber
{e^([n+1]x) - 1}/{e^x - 1} =
{e^([n+1]x) - 1}/x)*(x/{e^x - 1}) =
({x+x^2/2 + x^3/3 ++++ x^n/n! ++++}/x)*(x/{e^x -1}) =
KÜRZEN mit x!!! ergibt
({1+x/2 + x^2/3 ++++ x^[n-1]/n! ++++}*(x/{e^x -1})
Tscha, und nun hatta ainen die „Bernouillischen Zahlen“ erfunden, nämlich für die Koeffizienten der Potenzreihe für
f(x)=x/{e^x -1} = 1 + b1x^1/1 + b2x^2/2 + b3x^3/3! ++++
Nur die Herren Flachmathen haben sich bisher noch nicht ainigen können, was nun genau die „Bernouillischen Zahlen“ sain zu haben sollen tun. Daher gibs immer noch 2 Arten, zur Froide aller interessierten sowieso überforderten Mathomaten!
Zum Blaistift mich Unternulli!
FORTSETZUNG der Herleitung der Formel „über Bernouilli“
({1+x/2 + x^2/3 ++++ x^[n-1]/n! ++++}*(x/{e^x -1}) wird also zu
Summe{x^k/[k+1]!}*Summe{bk*x^k/k!} (oder ähnlich, s.o.)
Und das multipliziert man dann aus mit irngsom „Diagonalverfahren“ (benannt nach Cauchy???), erhält also eine noie Potenzraihe mit Koeffizienten, die sich als Kombinationen der beiden Summen ergeben.
Die aber zwecks Gebrauchs/Anwendung dann dochnoch für jede ainzelne Potenzsumme S{m^k} noch ausmultipliziert werden müssen!
Auf ähnliche Weise ist übergens die Formel für die unendliche Summe der -geraden, also (2k)ten Kehrwertpotenzen- (Eulersche „Zetafunktion“) zu entwickeln/entwickelt worden, für die ich aber auch wieder eine viel anschaulichere Zufußmethode gefunden und hier auch bereits früher vorgestellt habe.
Zum Blaistift ergibt sich ja S2 = S{m^2},10
denn lim{([1+x]*[1+2x]-1)/x},x–>0 = („Hôpital“) lim{(1*[1+2x]+2*[1+x])/1},x–>0 =
lim{1+2x+2+2x])/1},x–>0 = lim{3+4x},x–>0 = 3
NATÜRLICH gilt zeichgleitich „distributorisch“:
lim{([1+x]*[1+2x]-1)/x},x–>0 =
lim{([1+3x + 2x^2 -1)/x},x–>0 =
lim{([3x + 2x^2)/x},x–>0 =lim{([3 + 2x)},x–>0 = 3 !!!
Weil beim die 1 sich ja zunächst immer hebt, und dann beim Kürzen im Zähler eine Potenz von x stehen bleibt!
Und dasselbe geschieht bei „mainer alternativen gamatischen ethode“ (pardon, die m´s sind anni aussegangen/knapp geworden!)
Die Härr- und Dämschaften hier haben das, wenn nicht „wegen mainer undoitschen Sprache“, dann wegen des, hihi, unmatheamtischen Niwos wohl immer überlesen getan.
Jede Summe, S{an},10 !!!
Insbesondere ist S{an} = (1-[1-S{xan}])/x, wenn man nur was von „Ausklammern“ gehört haben tut!
Und 1 - [1-S{xan}] = 1 - Prod{1-xan} =
1 - (1 - Summe{xan} + Summe{xan1*xan2} - S{x^3**} ++++=
Summe{xan} - Summe{xan1*xan2} + S{x^3**} ++++ und nach dem Kürzen mit x - was braibt da üblig?
Und diese Methode gilt für ENDLICHE UND UNEDNLICHE SUMMEN gleichermaßen!
Nur, oh Froide, auf das (unendliche) Produkt kann man ja glücklicherweise(?) die Gammafunktion anwenden!
P.S.:
Hallo, Fritze, du schainst die Geschichte kaum zu kennen, stellst aber sicherhaitshalber erstmal mir vorwurfsvolle Fragen?
„Liebe® Aike/Aiche/Ani/Manni/Dilda/etc.
Warum wechselst Du eigentlich im Wochentakt Deine email-Adresse, Deinen Namen und mitunter sogar Dein Geschlecht?
Fragt sich
Fritze“
Frag dochmal dezent mal bei die Admikrostration dieses Forums an!
Das mit dem Geschlächt allerdings, das hat bai mir auch nochen diabebebebebetischen Grintderhund!
Schrieb ich dir, lieber Jens, schon mainen Dank für dainen Hinweis an Shan (wegen des beim Ergebnis +1/2 ja ausgelassen (tobenden) nullten, nicht ersten Gliedes!)?
Hab selbst ziemlich das Untergehör, äh, die Überschit verloren getan.
Ich würde mich sehr froien, wenn auch hier in diesem Forum allmählich eine tiesfinnigere und „wissenschaftlich“ experimentierfroidigere mathematische Diskussion möglich werden täte.
Zum Blaistift bedaure ich das Einschlafen der Diskussion zum Phänomen des Verschwindens der k+1ten Differenz der kten Potenzen der Natürlichen Zahlen, und v.a. das Nichteingehen auf maine Umkehrung desselben als Konstruktionsweg eben derselben Summen(formeln), der den Zusammenhang von „Binominalkoeffizienten“ und (n-dlichen) Potenzsummen nutzt, als Alternative zur oben phorgestellten Methode.
Naja, main Ainsatz ist ja auch wieder glaich nach posting von den oberverantwortlichen Mods gelöscht worden!
Macht hurig weiter so, liebe modernen Atoren!
Ich habe (noch) swehr viel Energioe und Phantasie, und auch Tanten genug als Namensgeber!
P.P.S.S.: Interessieret ainglich keinein die Integralformel für die endlichen oder auch unendlichen Summen der Kehrwertpotenzen in |N?
Zum Blaistift ist ja
Summe{1/m},11 konvergieren, wird die Formel da erst richtig haiß, interessant. Ich fand sie erst später, etwas „sehr mathematisch-wissenschaftlich-fürdenLaienunverständlichdakomplex“ hergeleitet wieder, bei Prof. Zagier: („Zetafunktion und quadratische Körper“), aber eben als komplexes Feenomeen.
Mir scheint aber da Dirichlet schon zuminnigens viel Phorarbait gelaistet zu haben!
Noch_als lieber Krüsse, _oin, _anni
Bai waiteren Fragen bitte nachhaken!
Besonders frouein täte ich mich wiegesagt über aigene Anregungen oirersaits!
P.S. nun erst finde ich deinen netten Hinweis, kriegerischer Mars (aber hat ihn da irgenainen glaich wieder gelöscht? Ich aheb jedenfalls ne Kopie gekricht!!!):
"auch die „Gammaregel“ existiert so nicht. Es gilt für 0
Hallo!
Hallo, Jens, hallo Froinde der Mathematik (Mars, schau bitte
glaich nach ganz unten!!!)
Gerne.
P.S. nun erst finde ich deinen netten Hinweis, kriegerischer
Mars (aber hat ihn da irgenainen glaich wieder gelöscht? Ich
aheb jedenfalls ne Kopie gekricht!!!):
Kopie? Ich hatte ihn selbst etwa 30 Sekunden (vielleicht eine Minute) nach dem Absenden gelöscht, nachdem mir das x im Zähler auf der rechen Seite zu spät aufgefallen war. Zugegeben, bei einer übersichtlichen Darstellung sollte ein derartiger Überseher eigentlich nicht vorkommen.
Denn bekanntlich ist ja Gamma(x) Gamma(1 - x) mit oder auch
ohne eingetragenes Malzeichen gleich x*G[x]*G[1-x], also
G[1+x]*G[1-x] = pix/sin[pix]…
Natürlich.
Gruß,
Martin
P.S. Das Diagonal- und Überlesen passiert mir offenbar in letzter Zeit häufiger - vielleicht sollte ich den Kaffeekonsum etwas reduzieren… 
halb-n-dlose Sympathex
Hallo, Martin lieber Froind!
Ich trinke am Tach ca 50 tazze di caffè, also Espresso,
und niehct mehr wie früher zum Ausglaich 50 Bier über den Tach, nur noch 0.
Und das Überlesen passiert mir auch gelegentlich, vor allem, wenn es „mir in den Kram paßt“, damit ich auch den Gegner vorbreitet haben tu, den es zu erschlagen gilt.
Hatte ich dich bisher (unabsichtlich) in einem posting (falsch) provoziert?
Das täte mir sehr laid, und ich würde ob der generellen Fron´t
GEGEN mich hier um Verständnis bitten, wenn man Verständnis erbeten könnte.
Oder gehörst du auch zu diesen etablierten Mathe(uns)amten, denen „die bisherigen Erkenntnisse und Methoden VOLkommen ausreichen“?
Leider schaffe ich es nicht immer gleich, auf volle Anschaulichkeit aus den notwendig abstrakten und formelbehafteten mathematischen Höhen zurückzukommen.
Aber ich träume von Mitmathematen, die auch kreatiefe Ideen haben TUN.
Übrigens ist dein letzter Brief bei mir auch in 2 Versionen annekommen, der Urversion und der mit dem sympathischen Zusatz (siehe Bemerkung am Aingang oben).
Ich erinnere mich sehr gut an die Zeit vor meinem allerersten Rausschmiß hier (Urausloggung), als ich noch Dilda hieß (aber die Dil ist immer noch da und hat sich auch in türkischer Sprache (!!!dil = Sprache!!!) weitergebildet!
Wie oft mußte ich nach oberflächlicher Korrekturlesung bereits abgeschicktes/gepostetes zurückholen (wenn überhaupt!) zurückholenm (also löschen), korrigieren, und noi posten!!!
Natürlich haben alle, die automatische Zusenmdung anneklickt hatte, auch alle Versionen erhalten!
Manchmal hatte ich allerdings doch schon in der korrigierten End-(manchmal sogar End-End-)Version ein „sorry“ nicht vergessen!
Lieber n-dliche Krüsse, Moinmoin, Manni
P.S.: Vielleicht interessiert dich als offensichtlichen Gammkenner ja auch meine Integralversion der (endlichen und unendlichen) Kehrwertpotenzsummen???
Müßtest du allerdings im Archiv suchen, wenn die Moderation noch nicht alles „unwürdige“ beseitigt haben tut…
Ich würde mich sehr froien…
Hallo,
Hatte ich dich bisher (unabsichtlich) in einem posting
(falsch) provoziert?
nein, allerdings können abschweifende Beiträge manchmal etwas gewöhnungsbedürftig sein…
Das täte mir sehr laid, und ich würde ob der generellen
Fron´t GEGEN mich hier um Verständnis bitten, wenn man Verständnis
erbeten könnte.
Oder gehörst du auch zu diesen etablierten Mathe(uns)amten,
denen „die bisherigen Erkenntnisse und Methoden VOLkommen
ausreichen“?
Eine ein wenig suggestive Frage scheint mir. Außerdem, ganz ehrlich, sehe ich den Zusammenhang zum Satz darüber nicht ganz…
Natürlich haben alle, die automatische Zusenmdung anneklickt
hatte, auch alle Versionen erhalten!
Ah, verstehe.
P.S.: Vielleicht interessiert dich als offensichtlichen
Gammkenner
Das wäre zuviel gesagt. Es ist nicht wirklich mein Gebiet. Ich kenne lediglich Emil Artins glänzend geschriebenes und 1931 erschienenes Heftchen „Einführung in die Theorie der Gammafunktionen“, das knapp 40 Seiten fasst. Und verlasse mich außerdem auf seine Einschätzung, die er zu Beginn des fünften Abschnitts äußert: Es gäbe „umfangreiche Literatur“, die sich mit „mehr oder weniger trivialen Operationen“ mit den beiden Euler’schen Integralen befasst. Der Umfang wird inzwischen natürlich nicht weniger geworden sein - was z.B. die Frage nach den unerforschten Lücken zumindest für mich offen lässt…
Gruß,
Martin