Hallo,
ich bräuchte mal dringend die Formel für folgende Reihe:
SUMME(-1)^k/k^4} von k=1 bis unendlich.
Danke und tschüß
OLIVER
Hallo, Oliver!
SUMME(-1)^k/k^4} von k=1 bis unendlich.
= - 7 * Pi^4 / 720
Viele Grüße,
Frank.
VIELEN HERZLICHEN DANK!!
Wie rechnet man sowas eigentlich aus?
Gruß
OLIVER
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Hallo, Oliver!
SUMME(-1)^k/k^4} von k=1 bis unendlich.
= - 7 * Pi^4 / 720
Viele Grüße,
Frank.
VIELEN HERZLICHEN DANK!!
Wie rechnet man sowas eigentlich aus?
Da hat sich schon Herr Euler einen netten Trick einfallen lassen:
Der sin(x/pi) hat Nullstellen auf den ganzen Zahlen. Also
vergleicht man ihn mit dem unendlichen Produkt
x(1-x^2)(1-x^2/4)(1-x^2/9)…
Linearer Term->die Konstanten stimmen.
Uebungsaufgabe: dieses Produkt existiert fuer alle x und ist
analytisch.
Nun nehme man den Logarithmus Ln( sin(x/pi)/x) und mache auf
beiden Seiten eine Reihenentwicklung. Aus dem Produkt wird dann
die Summe(n) ueber die Reihen(k) -1/k(x^2/n^2)^k.
Koeffizientenvergleich, x=4.Wurzel aus -1 setzen liefert den Wert.
Ungerade Potenzsummen ausrechnen geht meines Wissens nur numerisch.
Ciao Lutz
Hallo Lutz,
Dein Beitrag enthält m.E. einige Ungenauigkeiten.
Der sin(x/pi) hat Nullstellen auf den ganzen Zahlen. Also
Es muß sin(x*pi) lauten.
x(1-x^2)(1-x^2/4)(1-x^2/9)…
Hier fehlt der Faktor pi.
sin(pi*x) = pi*x(1-x^2)(1-x^2/4)(1-x^2/9)…
Linearer Term->die Konstanten stimmen.
Uebungsaufgabe: dieses Produkt existiert fuer alle x und ist
analytisch.Nun nehme man den Logarithmus Ln( sin(x/pi)/x) und mache auf
beiden Seiten eine Reihenentwicklung. Aus dem Produkt wird
dann
die Summe(n) ueber die Reihen(k) -1/k(x^2/n^2)^k.
Koeffizientenvergleich, x=4.Wurzel aus -1 setzen liefert den
Wert.
Irgendwie hat man das alles schon mal gesehen, und auch die Reihenentwicklung auf der rechten Seite und der Koeffizientenvergleich sind OK.
Aber so ganz kann ich da nicht durchsteigen.
Ungerade Potenzsummen ausrechnen geht meines Wissens nur
numerisch.
Das ist noch ungelöst. Es bleibt also noch etwas zu tun.
Gruß.
Cicero
Berechnung
Ausgehend von
(sin(pi*x))/(pi*x) = (1-x²)(1-x²/2²)(1-x²/3²)…
logarithmiere man beide Seiten, entwickle in Potenzreihen und sortiere. Es folgt
-x²pi²/6 - x4pi4/180 - … = -x²*Summe (1/n²) -x4/2*Summe (1/n4) - …
Koeffizientenvergleich liefert
Summe (1/n4) = pi4/90 .
Um Summe (-1)n+1/n4 zu berechnen, setze man
S = Summe (1/n4) und T = Summe (1/(2n)4) .
Es ist T = S/16 = pi4/(90*16). Schließlich erhält man
Summe (-1)n+1/n4 = S - 2T = 7pi4/720 .
Gruß.
Cicero
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