Hallo,
ich muss für eine Aufgabe die Reihensumme folgender Reihen bilden:
S1 = Summe n/2^n
S2 = Summe n^2/3^n
beiden Summen gehen von 1 bis unendlich, leider habe ich keine Ahnung wie das (analytisch) gehen soll, hat einer ein Tipps&Tricks parat?
Oliver
Hallo Oliver,
Sicher kennst Du schon das Quotienten- und das Wurzelkriterium.
Eines der beiden muß hier angewandt werden.
(Vermutlich weißt Du auch schon, daß das Wurzelkriterium „schärfer“ als das Wurzelkriterium ist.)
Setz nun mal versuchshalber beide Kriterien an und Du wirst sehen, daß Du mit dem Wurzelkriterium in beiden Fällen weiter kommst.
Allerdings muß Dir noch bekannt sein, daß die n-te Wurzel aus n im Grenzwert für n gegen Unendlich den Wert 1 liefert.
Hoffe Dir weitergeholfen zu haben
Helga
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Hallo,
ich muss für eine Aufgabe die Reihensumme folgender Reihen
bilden:S1 = Summe n/2^n
Guck mal, ob Dir das formale Quadrieren von Summe 1/2^k weiter hilft.
S2 = Summe n^2/3^n
Hier w"are dann die dritte Potenz von Summe 1/3^n gefragt, stimmt aber nicht genau, muss durch niedrigere Potenzen korrigiert werden.
Ciao Lutz
Hallo Oliver,
Sicher kennst Du schon das Quotienten- und das
Wurzelkriterium.
Eines der beiden muß hier angewandt werden.
Wieso denn das? ich soll doch die REIHENSUMME ausrechnen und nicht auf Konvergenz überprüfen, das weiß doch schon…
Halli Hallo,
jetzt kommt noch mein Schmarn dazu. Fuer S1 gilt folgendes:
S1 = SUM (n/2^n) = SUM (1/2^n) = 2
Sie Summe „SUM“ geht IMMER von n=0 bis n=infinity.
Man beachte, dass die eine Summer mit 0 beginnt, die andere aber mit 1.
Allgemein git noch:
SUM (q^n) = 1/(1-q) mit abs(q)
Hi, Oliver!
S1 = Summe n/2^n
S2 = Summe n^2/3^n
Okay, bekannt ist, daß für die geometrische Reihe gilt:
Summe[q^n , {n,0,inf}] = 1/(1-q)
für jedes q betragsmäßig kleiner 1.
Diese Gleichung wird jetzt nach q differenziert!!!
Die linke Seite ist dabei unproblematisch, man erhält sofort 1/(1-q)^2.
Auf der rechen Seite darf man Differentiation und Summation vertauschen, *weil* die Reihe offensichtlich absolut konvergent ist!
Man kann also gliedweise differenzieren und erhält damit insgesamt die Gleichung:
Summe[n*q^(n-1) , {n,1,inf}] = 1/(1-q)^2
Wenn man jetzt noch ein q in dier Summe reinsteckt, erhält man:
Summe[n*q^n , {n,1,inf}] = q/(1-q)^2
Deine erste Summe ist der Fall q=1/2.
Wenn man auf diese Formel nun nocheinmal den gleichen Trick anwendet, so erhält man schließlich:
Summe[n^2 *q^n , {n,1,inf}] = q*(1+q)/(1-q)^3
Das liefert Dir Deinen zweiten Reihenwert.
Okay, ich hoffe, das war einigermaßen verständlich…
Frank.
Kommt davon, wenn man nachts um eins einen Text nicht richtig liest…
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Danke an alle die geholfen haben!! (o.T.)
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