Wie leitet man die Reihensumme
Pi/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - … her ?
Torsten
Hi Torsten,
das geht am leichtesten über die Taylorreihe der arctan-Funktion.
Bei einer Entwicklung der Taylorreihe um den Punkt x_0 = 0 erhälst Du:
Arctan(x)=x-x^3/3+x^5/5-x^7/7+x^9/9-+…
Setzt Du nun x=1 ein, so ergibt sich
Arctan(1) = Pi/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9-+…
Für einen vollständigen Beweis müßtest Du jetzt noch zeigen, daß 1 im Konvergenzintervall der Reihe liegt, da sonst die Potenzreihe nicht notwendigerweise gleich der Funktion ist.
Gruß
Ted
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Vielen Dank, Ted. Aber das ist mir noch ein bissel zu „technisch“. Ich suche eine geometrisch-anschauliche Herleitung, so dass man es auch optisch nachvollziehen kann. Schliesslich ist Pi/4 der Viertelumfang eines Kreises (mit D=1).
Torsten
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Vielen Dank, Ted. Aber das ist mir noch
ein bissel zu „technisch“.
Hi again, Torsten!
Leider bin ich kein Techniker (wenigstens nicht kraft meiner Ausbildung) und Theoretiker, kann Dir in der gewünschten Richtung also vermutlich nicht weiterhelfen.
Gruß
Ted
Ich suche eine
geometrisch-anschauliche Herleitung, so
dass man es auch optisch nachvollziehen
kann. Schliesslich ist Pi/4 der
Viertelumfang eines Kreises (mit D=1).Torsten