Hallo,
ich habe schon alles ausprobiert. Konstruktionen mit Zirkel, Bestimmung der Höhe, Schnittpunkte der Geraden durch diese Punkte… nichts hat mich weitergebracht… 
Evtl. kann mir die Wer-Weiss-Was-Gemeinde helfen?
Die Aufgabe lautet:
Zeigen Sie: Aus den Mittelpunkten P, Q, R der Außenquadrate eines Dreiecks, läßt sich das Dreieck rekonstruieren. Hinweis: Verwenden Sie Drehungen um 90 Grad.
Ich weiß überhaupt nicht, wie man diesen Hinweis benutzen soll…
Wäre dankbar für eure Hilfe!
Steve
Auch hallo.
Die Aufgabe lautet:
Zeigen Sie: Aus den Mittelpunkten P, Q, R der Außenquadrate
eines Dreiecks, läßt sich das Dreieck rekonstruieren. Hinweis:
Verwenden Sie Drehungen um 90 Grad.Ich weiß überhaupt nicht, wie man diesen Hinweis benutzen
soll…
Naiv geraten: dass man das Dreieck im Dreidimensionalen modellieren
soll und nicht im Zweidimensionalen.
Oder dass die Endpunkte des gesuchten Dreiecks die Mittelpunkte weiterer Dreiecke bilden…
HTH
mfg M.L.
Zeigen Sie: Aus den Mittelpunkten P, Q, R der Außenquadrate
eines Dreiecks, läßt sich das Dreieck rekonstruieren. Hinweis:
Verwenden Sie Drehungen um 90 Grad.
Hallo Steve,
mal ein Dreieck auf ein Blatt Millimeterpapier. Beschrifte dessen Eckpunkte mit (xA, yA), (xB, yB) und (xC, yC). Zeichne außerdem die drei Dreiecksseiten-Mittelpunkte sowie die drei AQ (Außenquadrate) mit ihren Mittelpunkten. Beschrifte die AQ-Mittelpunkte mit (x1, y1), (x2, y2) und (x3, y3). Dabei soll das das 1-Quadrat zur AB-Dreiecksseite, das 2-Q zur BC-Seite und das 3-Q zur AC-Seite gehören.
Jetzt überlegst Du Dir, welche Koordinaten die AQ-Mittelpunkte in Abhängigkeit von den Dreieckspunkten haben. Du betrachtest also xA, yA, xB, yB, xC, yC als gegeben und bestimmst die Funktionsgleichungen für x1, y1, x2, y2, x3, y3. Das solltest Du hinkriegen können. Es läuft über die Dreiecksseiten-Mittelpunkte und die in der Aufgabenstellung erwähnten 90°-Drehungen (aber laß die Finger weg von sin und cos; die brauchst Du hier nicht!).
Wenn Dir das gelingt, hast Du 6 Gleichungen für die 6 Unbekannten (x1, y1, x2, y2, x3, y3) auf dem Papier stehen.
Eine davon zur Kontrolle: y2 = 1/2 (yC + yB + xB – xC).
Dieses 6er-Gleichungssystem stellst Du anschließend in Matrixform dar. Alles, was dann noch zu tun ist, ist zu zeigen, daß die Koeffizientenmatrix regulär ist. Falls sie das ist, dann ist das Gleichungssystem invertierbar, d. h. die Dreiecks-Koordinaten xA, yA, xB, yB, xC, yC können umgekehrt auch aus den AQ-Mittelpunkt-Koordinaten x1, y1, x2, y2, x3, y3 berechnet werden, sprich das Dreieck kann aus den AQ-Mittelpunkten rekonstruiert werden.
Rechne also die Determinate dieser Matrix aus, und schau, ob sie ungleich Null ist. Damit hast Du die Aufgabe erfüllt, weil Du ja nur zeigen sollst, daß eine Rekonstruktion möglich ist; die Angabe eines entsprechenden Konstruktionsverfahrens ist nicht verlangt.
Du kannst natürlich auch noch ein Stück weitergehen und die inverse Matrix bestimmen, und Dir angucken, wie die Gleichungen für xA, yA, xB, yB, xC, yC tatsächlich aussehen. Sie sind übrigens verblüffend einfach (eine davon zur Kontrolle: yB = x1 – x2 + y3).
Gruß
Martin
Zeigen Sie: Aus den Mittelpunkten P, Q, R der Außenquadrate
eines Dreiecks, läßt sich das Dreieck rekonstruieren. Hinweis:
Verwenden Sie Drehungen um 90 Grad.Ich weiß überhaupt nicht, wie man diesen Hinweis benutzen
soll…
Handelt es sich um eine Geometrie-Aufgabe oder lineare Algebra? Im ersten Fall (Papier, Bleistift, Zirkel, Lineal) komme ich auch nicht weiter. Für den zweiten Fall habe ich mir folgendes überlegt:
Nennt man die Eckpunkte des gesuchten Dreiecks A, B, und C, so gilt:
Aus A wird B, wenn man A um P 90° dreht.
Aus B wird C, wenn man B um Q 90° dreht.
Aus C wird A, wenn man C um R 90° dreht.
(Die Drehung erfolgt jeweils im mathematisch negativen Sinn)
Die Drehmatrix lautet D =
0 +1
-1 0
für Drehungen um den Koordinatenursprung.
Was man jetzt nur noch machen muss: Den Koordinatenurprung nacheinander in die Punkte P, Q und R zu legen. Dann folgt:
B=D(A-P) + P
C=D(B-Q) + Q
A=D(C-R) + R
Jetzt in die Gleichungen die Koordinaten für P, Q und R einsetzen. Dann hat man zwei Gleichungen für zwei Unbekannte (z. B. a1 und a2)
Gruß, Michael
schöne lösungen, aber…
geht das ganze auch rein geometrisch? oder kann man beweisen, daß es nicht geht?
Also, diese Aufgabe ist ein ziemlicher Brocken. Es sieht einfach aus, aber dann kommt man erst einmal nicht so einfach weiter.
Deshalb habe ich mich der Vektoren erinnert und freue mich, der geschätzten Leserschaft auf dieser Basis eine Lösung präsentieren zu können. Die Lösung beinhaltet sowohl den Beweis, daß die Aufgabe lösbar ist, als auch eine Konstruktionsanleitung für das gesuchte Dreieck.
Gegeben sind drei Punkte P, Q und R.
q bezeichne im folgenden den Vektor von P nach Q,
r bezeichne den Vektor von Q nach R.
Mit A, B und C bezeichnen wir im folgenden die Eckpunkte des gesuchten Dreieckes.
Aus der gegebenen Voraussetzung, daß die Punkte P, Q, und R die Mittelpunkte der Außenquadrate des gesuchten Dreieckes sind, folgt, daß keiner der Eckpunkte A, B, C des gesuchten Dreieckes mit einem der gegebenen Punkte P, Q und R identisch sein kann.
Deshalb können wir drei Vektoren x , y und z definieren, die jeweils von den gegebenen Punkten P, Q und R zu den Eckpunkten des gesuchten Dreieckes A, B und C verlaufen:
x sei der Vektor von P nach A,
y sei der Vektor von Q nach B und
z sei der Vektor von R nach C.
Nun werden wir x , y und z in Beziehung zu bekannten Größen aus der Aufgabenstellung setzen.
Dafür definieren wir zunächst die Vektoren a , b und c :
a sei der Vektor von A nach B,
b sei der Vektor von B nach C und
c sei der Vektor von C nach A.
Wir erhalten:
x = q + y - a ,
denn von P nach A kann man auch gelangen,
indem man von P nach Q,
dann von Q nach B
und B nach A geht.
Mit analogen Überlegungen erhält man die Gleichungen
y = r + z - b und
z = - ( q + r ) + x - c
Diese drei Vektorgleichungen bezeichnen wir als das System (S1).
Nun führen wir die Operation l( v ) ein. Die Operation l( v ) dreht jeden beliebigen Vektor v um 90 Grad entgegen dem Uhrzeigersinn.
Aus dieser Definition ergibt sich sofort: l(l( v )) = - v.
(*)
Diese Beziehung werden wir später nutzen.
Aus der Voraussetzung, daß die Punkte P, Q und R die Mittelpunkte der Außenquadrate des gesuchten Dreieckes sein sollen, ergeben sich folgende Beziehungen:
a = y - l( y ), denn
von A nach B kann man auch gelangen, indem man zuerst
von A nach Q und dann
von Q nach B geht.
Der Vektor von A nach Q entspricht dem um 90 Grad entgegen dem Uhrzeigersinn gedrehten und mit negativem Vorzeichen versehenen Vektor Q nach B. Dies ergibt sich aus der Definition von Q als Mittelpunkt des Außenquadrates über der Seite AB. Der Mittelpunkt eines Quadrates ist identisch mit dem Schnittpunkt seiner Diagonalen, die senkrecht aufeinander stehen und einander halbieren.
Mit analogen Überlegungen erhält man die Gleichungen
b = z - l( z ) und
c = x - l( x )
Diese drei Vektorgleichungen bezeichnen wir als das System (S2).
Die Beziehungen für a , b und c aus dem System (S2) werden nun in das System (S1) eingesetzt.
Dies führt zu folgenden Gleichungen:
x = q + l( y ),
y = r + l( z ) und
z = -( q + r ) + l( x )
Diese drei Vektorgleichungen bezeichnen wir als das System (S3).
Nun wenden wir auf jede dieser Gleichungen den oben definierten Drehungsoperator l() an. Der Drehungsoperator wirkt distributiv: Die Summe der gedrehten Vektoren ist gleich dem gedrehten Summenvektor.
Daher erhalten wir:
l( x ) = l( q ) + l(l( y )),
l( y ) = l( r ) + l(l( z )) und
l( z ) = - l( q ) - l( r ) + l(l( x ))
Unter Beachtung der Beziehung (*) ergibt sich daraus das System
l( x ) = l( q ) - y ,
l( y ) = l( r ) - z und
l( z ) = - l( q ) - l( r ) - x
Diese drei Vektorgleichungen bezeichnen wir als das System (S4).
Die Beziehungen für l( x ), l( y ) und l( z ) aus dem System (S4) werden nun in das System (S3) eingesetzt.
Dies führt zu folgenden Gleichungen:
x = q + l( r ) - z
y = r - l( q ) - l( r ) - x
z = - ( q + r ) + l( q ) - y
Dieses Vektorgleichungssystem wird nun nach x , y und z aufgelöst, indem man die dritte in die erste Gleichung einsetzt. Anschließend setzt man in die entstehende Gleichung die zweite Gleichung ein. Dies ergibt:
x = q + l( r ) + ( q + r ) - l( q ) + r - l( q ) - l( r ) - x , also
2 x = 2 q + 2 r - 2 l( q ), also
x = q + r - l( q )
y = r - l( q ) - l( r ) - q - r + l( q )
= - q - l( r )
und
z = - ( q + r ) + l( q ) + q + l( r )
= - r + l( q ) + l( r )
Die Eckpunkte des gesuchten Dreieckes erhalten wir also, indem wir zunächst die Strecken zwischen den gegebenen Punkten P und Q und zwischen Q und R zeichnen. Zu beiden Strecken zeichnen wir jeweils eine Strecke, die gegenüber der Ausgangsstrecke um 90 Grad gegenüber dem Uhrzeigersinn gedreht ist.
Ausgehend von den Startpunkten P, Q und R können wir nun durch Aneinanderfügen der Vektoren q , r , l( q ) und l( r ) bzw. der sich daraus einfach ergebenden negativen Vektoren entsprechend den errechneten Vektorgleichungen in der jeweiligen Kombination für x , y und z die Eckpunkte A, B, und C des gesuchten Dreieckes konstruieren.
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