wir machen in Mathe gerade Rekonstruktionsaufgaben und müssen anhand eines Textes die Gleichung herausfinden.
Bei meinen Hausaufgaben bin ich mir allerdings nicht sicher, ob mein Ergebnis richtig ist.
Hier erstmal der Text:
Der Graph einer ganzrationalen Funktion dritten Grades berührt die Winkelhalbierende des ersten Quadranten bei x=1 und ändert sein Krümmungsverhalten in P(0/0,5). Wie lautet die Funktionsgleichung?
Hier ist mein Ergebnis: y=-[5/6]X³+0,5X²+0,5
Ich würde mich freuen, wenn ihr sagen könntet, ob das Ergebnis richtig ist oder nicht. Falls nicht, würde ich mich natürlich über eine Erklärung freuen.
tut mir leid dir das zu sagen, aber deine Funktion ist falsch.
Sie läuft nicht einmal durch den Punkt (1,1), kann also logischerweise die Winkelhalbierende dort nicht berühren.
Der Ansatz, den du wahrscheinlich auch verfolgt hast:
f(x)=ax³+bx²+cx+d
f’(x)=3ax²+2bx+c
f’’(x)=6ax+2b
berührt die Winkelhalbierende des ersten Quadranten bei x=1
f(1)=1=a+b+c+d
berühren erfordert gleiche Steigung, also
f’(1)=1=3a+2b+c
ändert sein Krümmungsverhalten in P(0/0,5)
f(0)=0,5=d
Änderung des Krümmungsverhaltens erfordert einen Wendepunkt, also Nullstelle der zweiten Ableitung:
f’’(0)=0=2b
Mit diesen vier Gleichungen kannst du dir a,b,c und d berechnen und hast damit die Funktionsgleichung.
Genereller Tipp: Immer sehr systematisch vorgehen:
Funktion n. Grades: Sie hat 4 Koeffiziernten und es müssen sich dazu 4 Gleichenungen im Text finden lassen.
Wenn es darum geht, wo die Funktion durchläuft, wird in die Originalfunktion eingesetzt,
wenn es um Steigungen geht, wird die erste Ableitung gebraucht.
Bei WP die 2. Ableitung
Der Graph einer ganzrationalen Funktion dritten Grades
