Hallo,
wie löse ich folgende Aufgabe:
C(n)=C(n/2)+n² für n>1 und n aus IN, sowie C(1)=1.
Als Ansatz weiß ich nur, dass man n durch 2^k substituieren soll.
Danke!
Hallo Marc,
C(n)=C(n/2)+n² für n>1 und n aus IN, sowie C(1)=1.
Als Ansatz weiß ich nur, dass man n durch 2^k substituieren
soll.
also ist dann
C(2^k)=C(2^{k-1}) + 2^{2k}
Damit es leichter zu lesen geht, definiere:
D(k) := C(2^k)
und Du hast
D(k) = D(k-1) + 4^k
…jetzt kann man wohl sehen, wie D(k) berechnet werden kann.
Nun aber eine Frage zur Original-Rekursion (das mit den C’s):
C(3) bleibt also unbekannt? Oder darf in C( ) auch eine
rationale Zahl stehen?
Gruß
Stefan
Nun aber eine Frage zur Original-Rekursion (das mit den C’s):
C(3) bleibt also unbekannt? Oder darf in C( ) auch eine
rationale Zahl stehen?
Ja mehr ist mir nicht gegeben.
Nunja, das ist ja trotzdem schonmal sehr viel.
Was muss nun noch von mir gezeigt werden bzw. was wird wohl mit „Lösen Sie“ gemeint sein?
Danke ;o)
Hallo Marc,
Ja mehr ist mir nicht gegeben.
Mit dieser Rekursionsformel bekommt man nur die Werte für C(2^m) heraus. Ich würde sagen, da fehlt noch etwas in der Aufgabenstellung - wenn denn C(n) für *alle* n zu bestimmen sein soll.
Nunja, das ist ja trotzdem schonmal sehr viel.
Was muss nun noch von mir gezeigt werden bzw. was wird wohl
mit „Lösen Sie“ gemeint sein?
Ich denke, man muß C(2^k) als geschlossene Formel angeben
(in diesem Fall ist es eine geometrische Summe [nicht Reihe!] ).
Du willst ja die Lösung wissen ?!? 
Also:
D(k) = D(k-1) + 4^k
D(0) = 1
bedeutet
D(n) = \sum_{k=0}^n 4^k
Geometrische Summen berechnet man mit dem gleichen Trick wie geometrische Reihen:
1 + q + q^2 + … + q^n = S_n
q + q^2 + q^3 + … + q^{n+1} = q S_n
q^{n+1} - 1 = (q - 1) S_n
also
S_n = ( q^{n+1} - 1 ) / ( q - 1 )
und damit
D(n) = ( 4^{n+1} - 1 ) / 3 = C(2^n)
Beste Grüße
Stefan
leicht off-topic
Hallo,
was verstehst Du unter „geometrischer Reihe“ ?
Gruss
Enno
leicht verwirrt guck
Hallo Enno,
was verstehst Du unter „geometrischer Reihe“ ?
eine Reihe, wo aufeinanderfolgende Reihenglieder dasselbe
Verhältnis haben (…du weißt schon, wie ich’s meine)
ähm, erzähle ich in den Postings irgendwie Unsinn?
wenn ich google, finde ich überall „meine“ Definition 
Gruß
Stefan
Gruss
Enno
Hallo,
ich kenne „Deine“ geometrische Reihe unter dem Begriff geometrische Folge, also
a(1)=c und a(n+1)=q*a(n) für n>=1
Die Summe(n) einer geometrischen Folge
s(0)=0, s(n+1)=a(n+1)+s(n) für n>=0 bzw. s(n)=Σ1 a(i)
kenne ich halt unter dem Namen „geometrische Reihe“.
Gruss
Enno
immer noch leicht verwirrt guck
Hallo Enno,
jetzt geht es wohl um die Wortwahl
ich kenne „Deine“ geometrische Reihe unter dem Begriff
geometrische Folge, alsoa(1)=c und a(n+1)=q*a(n) für n>=1
in meinen Postings finde ich aber immer ein plus-Zeichen zwischen
den Gliedern einer geometrischen Folge… und notiert habe ich immer
eine Summe mit den üblichen „…“ hintendran. Ich weiß, daß das mathematisch nicht korrekt ist.
Die Summe(n) einer geometrischen Folge
na, das ist jetzt aber ungenau!
„Die Summe(n)“: meinst Du damit die Menge der Partialsummen?
Das würde nicht reichen. Statt Grenzwerte gäbe es nur Häufungspunkte.
Eine Reihe ist eine Folge von Partialsummen. Deswegen kann einer
Reihe das Adjektiv „konvergent“ zukommen; eine Reihe kann einen
Grenzwert besitzen etc.
Beste Grüße
Stefan
Hallo,
„Die Summe(n)“: meinst Du damit die Menge der Partialsummen?
gemeint ist die Folge s (vorheriges Posting) von (Partial)Summen. Dabei ist mir der Begriff „geometrische Reihe“ nicht nur für s insgesamt, sondern auch für einzelne Elemente von s, z.B. s(n)=a(1)+a(2)+…+a(n) geläufig - einfach ausgedrückt - jede Summe deren Summanden fortlaufende Folgeglieder einer geometrischen Folge darstellen.
Gruss
Enno