Hallo!
Kann mir jemand erklären, wie ich zeige, dass diese Folge hier eine Cauchyfolge ist?
a_1:= 1,
a_n+1:= 2+a_n / (1+a_n) für n größer oder gleich 1
Vielen Dank
Hallo,
also so wie die Folge hier definiert wurde, ist sie def. keine Cauchy-Folge, denn sie läßt sich nach unten durch a_n>2(n-1) abschätzen, ist also streng monoton steigend. Meinst Du a_n+1=(2+a_n) / (1+a_n), welches in R gegen sqrt(2) konvergiert ?
Gruss
Enno
Hallo Enno,
also so wie die Folge hier definiert wurde, ist sie def. keine
Cauchy-Folge, denn sie läßt sich nach unten durch
a_n>2(n-1) abschätzen
wie sieht man das? Ich erhalte nur
ann und damit immer
an+1 = 2 + an/(1 + an) n+1 >= an ist äquivalent () zu
2 + an/(1 + an) >= an
an >= (an - 2)(an + 1)
1 >= (1 - 2/an)(1 + 1/an)
1 >= 1 - 1/an - 2/an2,
was wegen der Positivität der an (siehe Rekursionsformel) immer erfüllt ist.
Beschränktheit und Monotonie liefern also Konvergenz (und damit natürlich auch die Cauchy-Eigenschaft).
Oder übersehe ich da etwas?
Grüße,
Martin
Hallo,
für mich liest sich a_n+1:= 2+a_n / (1+a_n) als a_n+1:= 2+(a_n / (1+a_n)). Deshalb meine Nachfrage.
Gruss
Enno
für mich liest sich a_n+1:= 2+a_n / (1+a_n) als
a_n+1:= 2+(a_n / (1+a_n)).
Ja, für mich auch… Ist der zweite Summand (der Bruch) nicht immer
Hmm
… ich sag jetzt besser nix mehr und geh’ was essen (
… ich sag jetzt besser nix mehr und geh’ was essen (
…für den Fragesteller, damit hier kein offenes Ende steht.
Die Lösung wird dann etwas weniger elegant (vielleicht geht’s anders einfacher), aber mit der Rekursionsformel kann man zumindest
an+1 >= an an
Hallo noch mal,
ich glaub, was die Probleme bereitet hat, war wohl, dass die Folge natürlich
a_n+1= (2+a_n)/(1+a_n) heißt…
Aber Danke fürs Nachdenken
Hallo,
Erstmal kann man nachweisen, dass die Folge streng monoton wachsend ist:
a_n+1 -a_n> 0 zeigen, indem du die Definition von a_n+1 einsetzt und das ganze weit genug auflöst. Man sieht außerdem, dass sie Folge aufgrund des Wertes a_1=1 und der Vorschrift immer positiv ist, also größer 0. Da jetzt noch (2+a_n)/(1+a_n)=2/(1+a_n) +a_n/(1+a_n) und sich das ganze wegen der Monotonie der Folge nach oben durch 2 abschätzen lässt, hast du eine beschränkte, monotone Folge
Aus dem Hauptsatz über monotone Folgen folgt die Konvergenz, was äquivalent dazu ist, dass es eine Cauchy Folge ist.
Aber Danke fürs Nachdenken
Ja, MfG