Hallo,
Ich habe eine Frage bzgl. des kartesischen Produkts bzw. die
Relation zwischen zwei Mengen betreffend.
(Hab ich das bisher richtig verstanden, dass sie binär
heißt, wenn es sich um eine Relation zwischen zwei Mengen
handelt und n-äre Relation, wenn es sich um n Mengen
handelt?
Kann ich Dir jetzt nicht mit Sicherheit bestätigen, aber klingt in sich schlüssig.
Soweit - so gut, ich glaube auch verstanden zu haben, was es
mit der Relation auf sich hat, dass sie eine Teilmenge ist
(des kartesischen Produkts jener Mengen?).
Genau. Das ist die formale Definition.
Anschaulich hilft es einem aber, wenn man bestimmte Relationen betrachtet, wie z.B. Ordnungsrelationen oder Äquivalenzrelationen.
Dann macht die Bezeichnung „Relation“ gleicht viel mehr Sinn.
Das ist also der Stand der Dinge, was ich bisher verinnerlicht
hab 
Nun meine Frage:
Wie kann man sich die Komposition zweier Relationen
vorstellen?
Das ist die Hintereinanderkettung von Relationen. Nochmal die Definition für zwei Relationen. Angenommen A,B und C sind Mengen.
R sei eine Relation zwischen A und B und T sei eine Relation zwischen B und C.
Dann soll also gelten:
R ist Teilmenge von AxB und T ist Teilmenge von BxC.
Nun können wir als Komposition dieser beiden Relationen eine neue Relation definieren: die Komposition K, mit:
K={ (a,c) in AxC | es existiert ein b in B mit (a,b) in R und (b,c) in C }
Kann man sich das veranschaulichen?
Teils, teils. Betrachten wir mal die Relationen R:= (größer), ebenfalls auf IN.
Was ist dann K?
Nun die Komposition K ist die Menge aller derjenigen Paare natürlicher Zahlen (a,c) für die eine natürlich Zahl existiert, die größer als a ist und größer als c.
Und da es zu jedem Paar natürlicher Zahlen sowas gibt, ist das die Menge aller natürlichen Zahlenpaare. K = INxIN
Um die Sache etwas spannender zu machen betrachten wir die selben Relationen mal nicht auf IN sondern auf M := {0,1,2}
Dann erhalten wir:
K = {(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}
Denn beispielsweise für das Paar (0,2) existiert kein b in M, so dass gilt b > 2.
Klar soweit.
Jetzt nochmal mit einer anderen Relation: R := mehrere Relationen
verkettet (heißt das so?) ?
Naja, das wird etwas anstrengend, sollte allerdings analog sein.
Soweit ich gerade gelesen habe (habe Relationen selten sehr intensiv angeschaut), ist die Verkettung assotiativ.
Du kannst also erst zwei Relationen verketten, erhältst eine neue Relation und verkettest dann weiter.
Einfaches Beispiel dazu:
R:=