Relativistischer Impuls erhalten?

Wissenschaft Physik
#1

Hallo Leute

Hab mich neulich mit dem relativistischen Impuls beschäftigt und bin auf folgendes Problem gestossen. Mir geht es um einen elastisches Stoss zweier Kugeln, in einer Anordnung wie dieser:

http://www.paradoxe-systeme.de/wp-content/uploadsF7/…

Die Kugeln seien gleichschwer der (Ruhe-)Masse m und kommen von rechts und links mit gleicher Geschwindigkeit v. nach dem Stoss bewegen sie sich ebenfalls mit gleicher Geschwindigkeit nach oben und unten weg. Die Geschwindigkeit nach dem Stoss ist immernoch v. Jetzt wechsle ich in ein Bezugssystem, in dem die linke Kugel vor dem Stoss ruht, d.h. ich Bewege mich mit ihr mit. Dann ergeben sich folgende Geschwindigkeiten (falls ich mich nicht hier schon mit der relativistischen Geschwindigkeitsaddition vertan habe):

Linke Kugel vor dem Stoss: steht still
Rechte Kugel vor dem Stoss: 2v / wurzel(1 - v^2)

Linke Kugel nach dem Stoss: mit v nach links und mit v * wurzel(1 - v^2) nach oben.
Rechte Kugel nach dem Stoss: mit v nach links und mit v * wurzel(1 - v^2) nach unten.

An dieser Konstellation möchte ich nun die Impulserhaltung nachrechnen. Der relativistische Impuls ergibt sich ja nach

p = mv / wurzel(1 - v^2)

wobei m die Ruhemasse ist. Das habe ich so für vor und nach dem Stoss in Mathematica eingegeben und erhalte:

Vor dem Stoss:
Ist nur die eine Kugel in Bewegung, und es ergibt sich
p = -(2 v)/(-1 + v^2)
wobei das negative Vorzeichen bedeutet, dass der Impuls nach links zeigt.

Nach dem Stoss:
Hier ergibt sich der Impuls als Summe der Impulse der beide Einzelimpulse. Die vertikalen Komponenten des Impulses heben sich gerade weg. Für die horizontale erhalte ich
(2 v)/Wurzel(1 + (-2 + v) * v^2)

Die beiden Impulse stimmen offenbar nicht überein. Wo ist mein Fehler. Hab ich die Impulse falsch berechnet, beim Übergang in das andere Bezugssystem schon Mist gebaut oder hab ich etwas mit dem relativistischen Impuls komplett missverstanden?

Danke für jede Hilfe,
MfG IGnow

#2

Hallo!

Im Schwerpunktsystem ist alles ziemlich einfach: Der Impuls p ist vorher 0 und auch nachher 0. Da braucht man nicht einmal rechnen.

Im mitbewegten System sieht es etwas komplizierter aus.
Der Impuls der einen Kugel beträgt p1’ = 0. Der Impuls der anderen Kugel

p’_2 = \frac{mv’}{\sqrt{1-v^2}}

mit
v’=\frac{-2v}{\sqrt{1-v^2}}

Also

p’_2=- \frac{2mv}{1-v^2}=p’(\text{vorher})

Das ähnelt nur bedingt Deiner Formel:

Vor dem Stoss:
Ist nur die eine Kugel in Bewegung, und es ergibt sich
p = -(2 v)/(-1 + v^2)

Das „m“ hast Du wahrscheinlich nur vergessen, aber warum kehren sich die Vorzeichen im Nenner um?

Nach dem Stoss:
Hier ergibt sich der Impuls als Summe der Impulse der beide
Einzelimpulse. Die vertikalen Komponenten des Impulses heben
sich gerade weg. Für die horizontale erhalte ich
(2 v)/Wurzel(1 + (-2 + v) * v^2)

Ich habe keine Ahnung, was Du da rechnest.
Ich erhalte:

p’(\text{nachher})=2\cdot p’_1(\text{nachher})=2\cdot \frac{mv’}{\sqrt{1-v^2}}

=2\cdot m \cdot \frac{-v}{\sqrt{1-v^2}}\cdot \frac{1}{\sqrt{1-v^2}}

=-\frac{2mv}{1-v^2}

Das ist genau der Impuls vor dem Stoß.

Michael

#3

Hi,
und Danke für deine Antwort.

Zugegebener Maßen, mein Post war etwas schlampig. Ich hab wie gesagt alles Mathematica rechnen lassen, hab daher keine Rechenwege. Vorzeichen hab ich nicht so genau genommen und tatsächlich habe ich die ganze Zeit die Masse weggelassen, weswegen du bei jer meiner Formeln eigentlich noch ein m dransetzen müsstest.

Beim schreiben meiner ewiglangen Antwort ist mir dann ein Fehler aufgefallen und alles hat sich in Wohlgefallen aufgelöst :wink: Habe ein Quadrat vergessen.

Eine Frage jedoch habe ich noch. Hier ist mir dein Rechenweg nicht ganz klar:

p’_2 =- \frac{mv’}{\sqrt{1-v^2}}

Über dem Bruchstrich steht v’, aber darunter v. Warum? Die Formel für den relativistischen Impuls lautet doch

p = \frac{mv}{\sqrt{1-v^2}}

für ein Teilchen der Geschwindigkeit v und Ruhemasse m. Müsste es daher nicht eher

p’_2 =- \frac{mv’}{\sqrt{1-v’^2}}

sein. Jedenfalls erhalte ich dabei auch unser gemeinsames Ergebnis (hab wie gesagt Mathematica rechnen lassen).

Grüsse, IGnow