Relativistisches Auto

[Michael_Bauer_c1319c]

Hallo!

Vielleicht kann mir ja mal jemand den Knoten in meinem Gehirn lösen. Ich stelle mir folgendes vor:

Ich sitze in einem (etwas zu großen) Auto auf einer (sehr langen) Autobahn mit sehr wenig Verkehr. Mein Tacho zeigt halbe Lichtgeschwindigkeit an. Das bedeutet, dass die Landschaft an mir mit v = c/2 vorbei rauscht. Mein Räder haben einen Umfang von einer halben Lichtsekunde, d. h. sie drehen sich jede Sekunde genau ein Mal.

Am Straßenrand steht ein Beobachter. Und mich würde gern interessieren, welchen Eindruck er von mir hat. Hier meine Gedanken (so weit, wie ich eben selbst gekommen bin …)

1. Er glaubt, dass ich mich mit der Geschwindigkeit v’ = (-)c/2 bewege.
2. Für ihn bewegen sich die Unterseiten meiner Reifen nicht. Das Profil sieht also auf der Unterseite der Räder ganz normal aus. Logisch: Auf der Straße hinterlasse ich die gleiche Spur, egal ob ich schneller oder langsamer fahre.
3. Die Oberseiten der Räder bewegen sich (im Grenzfahl) mit c in entgegengesetzter Richtung. Sie sind extrem Lorentz-kontrahiert.
4. Insgesamt haben die Räder also irgendeine oben spitz zulaufende Tropfenform.
5. Weil er glaubt, dass an Bord meines Autos die Zeit langsamer vergeht als bei ihm, drehen sich die Räder für ihn in einer Zeit, die länger als eine Sekunde ist. (Um genau zu sein: 1,15 s).
6. Damit er trotzdem meine Geschwindigkeit mit |v’| = c/2 berechnet, muss für ihn der Umfang meiner Räder größer als 0,5 Ls sein.

Stimmt es bis hierhin oder habe ich einen Denkfehler?

Nun komme ich nämlich auf einen Widerspruch, den ich bisher nicht lösen konnte: Die Lorentz-Kontraktion verlangt, dass der Umfang der Räder geringer ist 0,5 Ls. Die Bewegung des Autos in Verbindung mit der Zeitdilatation verlangt, dass der Umfang größer ist als 0,5 Ls. Wie passt das zusammen?

Michael

[Eckhart_Schilling]

Hallo!

Vielleicht kann mir ja mal jemand den Knoten in meinem Gehirn
lösen. Ich stelle mir folgendes vor:

Ich sitze in einem (etwas zu großen) Auto auf einer (sehr
langen) Autobahn mit sehr wenig Verkehr. Mein Tacho zeigt
halbe Lichtgeschwindigkeit an. Das bedeutet, dass die
Landschaft an mir mit v = c/2 vorbei rauscht. Mein Räder haben
einen Umfang von einer halben Lichtsekunde, d. h. sie drehen
sich jede Sekunde genau ein Mal.

Am Straßenrand steht ein Beobachter. Und mich würde gern
interessieren, welchen Eindruck er von mir hat. Hier meine
Gedanken (so weit, wie ich eben selbst gekommen bin …)

1. Er glaubt, dass ich mich mit der Geschwindigkeit v’ =
   (-)c/2 bewege.
2. Für ihn bewegen sich die Unterseiten meiner Reifen nicht.
   Das Profil sieht also auf der Unterseite der Räder ganz normal
   aus. Logisch: Auf der Straße hinterlasse ich die gleiche Spur,
   egal ob ich schneller oder langsamer fahre.
3. Die Oberseiten der Räder bewegen sich (im Grenzfahl) mit c
   in entgegengesetzter Richtung. Sie sind extrem
   Lorentz-kontrahiert.
4. Insgesamt haben die Räder also irgendeine oben spitz
   zulaufende Tropfenform.
5. Weil er glaubt, dass an Bord meines Autos die Zeit
   langsamer vergeht als bei ihm, drehen sich die Räder für ihn
   in einer Zeit, die länger als eine Sekunde ist. (Um genau zu
   sein: 1,15 s).
6. Damit er trotzdem meine Geschwindigkeit mit |v’| = c/2
   berechnet, muss für ihn der Umfang meiner Räder größer als 0,5
   Ls sein.

Stimmt es bis hierhin oder habe ich einen Denkfehler?

Nun komme ich nämlich auf einen Widerspruch, den ich bisher
nicht lösen konnte: Die Lorentz-Kontraktion verlangt, dass der
Umfang der Räder geringer ist 0,5 Ls. Die Bewegung des Autos
in Verbindung mit der Zeitdilatation verlangt, dass der Umfang
größer ist als 0,5 Ls. Wie passt das zusammen?

Michael

Hallo Michael, Längenkontraktion ERFÄHRT der Fahrer für die vor ihm liegende Strecke. Längenkontraktion MISST der Beobachter unter Berücksichtigung der Nichtgleichzeitigkeit räumlich-in Fahrtrichtung- getrennter Ereignisse. Bodenberührungspunkt, Nabe und oberer Randpunkt sind nicht ausgedehnt, also auch nicht kontrahiert.

Der Beob misst Deine Fahrt, die Durchgänge der drei Radpunkte, berücksichtigt die Lichtlaufzeit und kennt den Radumfang und die Drehzahl.

Der Gedankenfehler scheint mir darin zu liegen, daß der Beob sowohl die Längenkontr, die ja nicht besteht (Punkte), als auch die Zeitdilat der Borduhr im gleichen Problem verwendet.

Raumzeit-Intervalle sind invariant, wie es aber mit Drehzahl-ANZEIGE steht, muss ich erst begrübeln.
Warum aber die Radoberseite sich in Gegenrichtung bewegt, ist mir nicht klar, die eilt doch der Nabe voraus. Gruß, eck.

[DrStupid]

4. Insgesamt haben die Räder also irgendeine oben spitz
   zulaufende Tropfenform.

Ich habe einfach mal ein rotierendes Rad mit obigen Werten Lorentz-transformiert und das Ergebnis ist ein um den Faktor 0,866 in Fahrtrichtung gestauchtes Rad. Allerdings liegen Punkte, die im Ruhesystem des Autos gleichmäßig auf dem Rad verteilt sind, im transformierten Rad oben dichter als unten.

6. Damit er trotzdem meine Geschwindigkeit mit |v’| = c/2
   berechnet, muss für ihn der Umfang meiner Räder größer als 0,5
   Ls sein.

Wirklich der ganze Umfang oder nur der untere Teil? Die Geschwindigkeit des Autos wird doch nur davon bestimmt, wie viel Reifen auf der Straße abrollt. Was der Rest des Rades macht, sollte dabei eigentlich egal sein. Unten wird das Rad aber tatsächlich gegenüber dem Ruhesystem des Autos gestreckt, weil er sich gegenüber dem Auto bewegt (und somit Lorentz-kontrahiert ist) aber gegenüber der Straße nicht.

[Eckhart_Schilling]

Man darf die im Profil stationären Punkte nicht mit den umlaufenden identifizieren, obwohl sie infinitesimal immer übereinstimmen. Da hätte ich fürs Profil auch auf 0,866 Stauchungsfaktor für alle Querschnitte getippt.

Das Problem liegt in der unterschiedlichen Drehzahl U/min. Gleiche Strecke (da die Räder nun einmal den Weg abrollen) geteilt durch einmal Beobachterzeit und dann dilatierte Zeit. Das führt retrograd auf unterschiedliche Radumfänge.

[Anonym]

Hallo,

3. Die Oberseiten der Räder bewegen sich (im Grenzfahl) mit c
   in entgegengesetzter Richtung.

Stimmt das denn? Müsste man das nicht auch Lorentz-transformieren?
Gruß
loderunner

[Michael_Bauer_c1319c]

Hallo!

Super, vielen Dank!

4. Insgesamt haben die Räder also irgendeine oben spitz
   zulaufende Tropfenform.

Ich habe einfach mal ein rotierendes Rad mit obigen Werten
Lorentz-transformiert und das Ergebnis ist ein um den Faktor
0,866 in Fahrtrichtung gestauchtes Rad.

Hast Du dazu irgendwelche Abbildungen? Mich würde einfach aus purer Neugier interessieren, wie das dann aussieht. einfach nur eine Ellipse?

Allerdings liegen
Punkte, die im Ruhesystem des Autos gleichmäßig auf dem Rad
verteilt sind, im transformierten Rad oben dichter als unten.

6. Damit er trotzdem meine Geschwindigkeit mit |v’| = c/2
   berechnet, muss für ihn der Umfang meiner Räder größer als 0,5
   Ls sein.

Wirklich der ganze Umfang oder nur der untere Teil?

Aaah! Das ist natürlich mein Denkfehler! Ich dachte, dass die Winkelgeschwindigkeit für das ganze Rad konstant sein müsste, was natürlich nicht stimmt.

Michael

[Che_Netzer]

Hast Du dazu irgendwelche Abbildungen? Mich würde einfach aus
purer Neugier interessieren, wie das dann aussieht. einfach
nur eine Ellipse?

Für den Beobachter sicher nicht. Der steht ja unten am 1/2π Ls hohen Rad. Den obersten Teil davon sieht er also erst nach 1/2π Sekunden, wenn der untere Teil schon 1/4π Ls weitergerollt ist, wenn ich mich nicht irre.

mfg,
Ché Netzer

[DrStupid]

Mich würde einfach aus
purer Neugier interessieren, wie das dann aussieht. einfach
nur eine Ellipse?

Ja, einfach nur eine Ellipse.

[DrStupid]

Hast Du dazu irgendwelche Abbildungen? Mich würde einfach aus
purer Neugier interessieren, wie das dann aussieht. einfach
nur eine Ellipse?

Für den Beobachter sicher nicht. Der steht ja unten am 1/2π Ls
hohen Rad. Den obersten Teil davon sieht er also erst nach
1/2π Sekunden, wenn der untere Teil schon 1/4π Ls
weitergerollt ist, wenn ich mich nicht irre.

Ich habe lediglich berechnet, welche Form das Rad im Ruhestem des Beobachters hat und nicht wie es für ihn unter Berücksichtigung der unterschiedlichen Lichtlaufzeiten aussieht. Das wäre für die Beantwortung der Frage auch nicht sinnvoll gewesen.