Hi,
ich habe ein paar Probleme mit dem Residuenkalkül.
Bsp.: f(z) = (z^2+2)/(z^4-1)
Wie lauten hier die isolierten Singularitäten?
z_0 = 1, z_1 = -1, z_2 = i, z_3 = -i ?
Oder nur z = i, weil i^4 = 1!
Das Problem ist bei mir u.a. diese Herausfinden.
Ich gehe jetzt hier von einer Singularität z_0 = i
( 1 - facher Pol ) aus.
Res(f, z_0) = 1/(1-1)! * [d^0/dz^0 [(z - z_0)^1 * f(z)] ]_(z=z_0)
= [(z-z_0) * (z^2+2)/(z^4-1)]_(z=i)
= [(i-i) * (i^2+2)/(i^4-1)]
= [0 * (-1+2)/(1-1)]
= [0 * 1/0] = 0
Stimmt das so?
Danke und fg
Torsten
zuhalten und einsetzen
Hi
ich habe ein paar Probleme mit dem Residuenkalkül.
Bsp.: f(z) = (z^2+2)/(z^4-1)
Wie lauten hier die isolierten Singularitäten?
z_0 = 1, z_1 = -1, z_2 = i, z_3 = -i ?
Oder nur z = i, weil i^4 = 1!
Nein, alle vier sind Singularitäten.
Res(f, z_0) = 1/(1-1)! * [d^0/dz^0 [(z - z_0)^1 * f(z)]
]_(z=z_0)
= [(z-z_0) * (z^2+2)/(z^4-1)]_(z=i)
= [(i-i) * (i^2+2)/(i^4-1)]
= [0 * (-1+2)/(1-1)]
= [0 * 1/0] = 0
Autsch! Was ist denn hier passiert? Du teilst ja durch Null!
Du musst vorher kürzen:
[(z-z_0) * (z^2+2)/(z^4-1)]_(z=i)
= (z^2+2)/[(z+1)(z-1)(z+i)]_(z=i)
= (-1+2)/[(i+1)(i-1)(2i)]
Die anderen analog.
Aber du musst nicht immer von der allgemeinen Formel ausgehen. Meistens geht es viel einfacher.
Wenn sich nämlich der Nenner in ein Produkt zerlegen lässt, gilt die Regel:
Zuhalten und einsetzen
In deinem Beispiel: Da ist der Nenner ja
z^4-1 = (z+1)(z-1)(z+i)(z-i)
Um jetzt zum Beispiel das Residuum an der Stelle i auszurechnen, musst du einfach nur den Faktor der Null wird, also (z-i) zuhalten und dann in den Rest z=i einsetzen. Fertig.
Gruß
Oliver