Residuenregel

Wissenschaft Physik
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Hi, ich hab ein Problem mit folgender Formel

Sei f ein holomorphe Funktion mit einer Nullstelle n-ter Ordnung in a. Dann gilt Resa(f’/f)=n

Mein Lösungansätze ergaben alle Schmuh.
Ich hab habe versucht die Nullstelle n-ter Ordnung „abzukoppeln“, also f(z)=g(z)*(z-a)^n gesetzt, und dann das Residuum über die Defintion mit Hilfe der Integralformeln von Chauchy versucht auszurechnen.

Mein zweiter Ansatz war, dass 1/f ein Polstelle n-ter Ordnung haben muss und dass dann (z-a)^n+1/f(z) fortsetzbar mit h(z)=(z-a)^n*1/f(z) für alle z ungleich a
und h(z)=limz->a(z-a)^n*1/f(z) für z=a

Dann wollte ich mit dieser Identität das Residuenintegral lösen - auch das Schlug fehl =/

Der Hintergrund: Ich schreibe morgen Klausur in Funktionentheorie und ich bin mir fast sicher, dass mind. eine Aufgabe der Beweis einer irgendeiner Rechenregel, die hier (http://de.wikipedia.org/wiki/Residuum_%28Funktionent…) zu finden sind, sein wird. Das wäre genau der Stil des Profs, der bei dem ich die Klausur schreibe. Viele Beweise dieser Regeln habe ich schon zusammen (entweder selbst gemacht oder Leute gefragt :wink:) Wenn ich den Beweis dieser einen Formel hätte wären die restlichen ned mehr so schwer.

Greetz,
Timo

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Frage hat sich erledigt
Hi, meine Frage hat sich erledigt: Hab den Beweis selbst hinbekommen. Ich hab
f’(z) ausgerechnet über f(z)=g(z)*(z-a)^n . Danach beides ins Residuenintegral eingesetzt, Cauchy-Formel angewendet - fertig. :smile:

Greetz,
Timo

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Abkoppeln klappt!
Hallo Timo!

Ich hab habe versucht die Nullstelle n-ter Ordnung
„abzukoppeln“, also f(z)=g(z)*(z-a)^n gesetzt, und dann das
Residuum über die Defintion mit Hilfe der Integralformeln von
Chauchy versucht auszurechnen.

Das haette auch funktioniert: Schreibe f(z) = (z-a)^n*g(z)
mit g(a)0. Dann ist die Ableitung
f’(z) = n*(z-a)^(n-1)*g(z)+(z-a)^n*g’(z)
und der Quotient
f’(z)/f(z) = n/(z-a) + g’(z)/g(z)
Der erste Summand gibt das gewuenschte Residuum und der zweite Summand eine Null, weil g’/g holomorph und g(a)0 ist.

Gruss,
klaus

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Der erste Summand gibt das gewuenschte Residuum und der zweite
Summand eine Null, weil g’/g holomorph und g(a)0 ist.

Das hatte ich übersehen, danke

greetz,
Timo