Hi, ich bräuchte eure Hilfe beim Berechnen von res0f mit
f(z)=cos(z)/(z^3*(z²+1)) Ich bekomme als Ergebis 2*PI*cos(-i)/-3 und ich glaube nicht, dass das stimmt.
Ich hab das Residuum direkt über die Defintion ausgerechnet, also das entsprechende Integral mit Cauchy-Integral-Formel gelöst.
Könnt ihr mir helfen?
Greetz,
Timo
Hallo.
Hi, ich bräuchte eure Hilfe beim Berechnen von
res0f mit
f(z)=cos(z)/(z^3*(z²+1)) Ich bekomme als Ergebis
2*PI*cos(-i)/-3 und ich glaube nicht, dass das stimmt.
Ich hab das Residuum direkt über die Defintion ausgerechnet,
also das entsprechende Integral mit Cauchy-Integral-Formel
gelöst.
Könnt ihr mir helfen?
Ich glaube, du hast den Sinn des Residuenkalküls noch nicht verstanden: Man benutzt das Residuum um Integrale zu berechnen - nicht umgekehrt!
Zu deiner Frage:
Für die allgemeine Berechnung des Residuums der Funktion f an einer n-fachen Polstelle a gilt die Formel:
resa f = 1/(n-1)! * limz->a (d/dz)n-1 [(z-a)nf(z)]
Eine etwas schönere Darstellung ist hier zu sehen:
http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/inhalt/aussage…
Bei deinem Besipiel ist:
f(z)=cos(z)/(z^3*(z²+1))
a=0
n=3
Die dann in der Formel auftauchende zweite Ableitung ist zudem stetig im Punkt Null, weshalb der Grenzwert gegen den Funktionswert ersetzt werden kann.
Die Residuenformel reduziert sich also in unserem Beispiel zu:
res0 f = 1/2 * d²/dz² [cos(z)/(z²+1)] |z=0
Wenn ich mich nicht verrechnet habe, ergibt das:
res0 f = 3/2
So ähnliche Fälle tauchen in der Praxis sehr oft auf. Die Faustformel hierfür lautet: Zuhalten & Ableiten
Gruß
Oliver
Wenn ich mich nicht verrechnet habe, ergibt das:
res0 f = 3/2
Mir ist gerade aufgefallen, dass ich ein Minus verschlampt habe. Richtig ist:
res0 f = -3/2
Ich glaube, du hast den Sinn des Residuenkalküls noch nicht
verstanden: Man benutzt das Residuum um Integrale zu berechnen
- nicht umgekehrt!
Doch, habe ich schon. Das Problem ist nur, dass wir nur eine Formel zur Berechnung des Residuums für 1-fache Polstellen kennen. Ansonsten bleibt mir nix anderes übrig als das Residuum zu Fuß (nach Defintion) auszurechnen.
Zu deiner Frage:
Für die allgemeine Berechnung des Residuums der Funktion f an
einer n-fachen Polstelle a gilt die Formel:
resa f = 1/(n-1)! * limz->a
(d/dz)n-1 [(z-a)nf(z)]
Die hab ich auch in Wiki gefunden, wollte sie aber nicht anwenden, weil sie noch nicht in der VL eingeführt wurde.
Eine etwas schönere Darstellung ist hier zu sehen:
http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/inhalt/aussage…
Bei deinem Besipiel ist:
f(z)=cos(z)/(z^3*(z²+1))
a=0
n=3
So ähnliche Fälle tauchen in der Praxis sehr oft auf. Die
Faustformel hierfür lautet: Zuhalten & Ableiten
Aha, okay. Werde ich mir merken und vielen vielen Dank 
Ansonsten bleibt mir nix anderes übrig als das
Residuum zu Fuß (nach Defintion) auszurechnen.
Na gut, dann halt so:
Sei f(z) = cos(z)/(z³(z²+1)) = g(z)/z³
mit g(z) = cos(z)/(z²+1)
Mit Hilfe der verallgemeinerten Cauchy-Integralforml ergibt sich dann für das Residuum:
res0f := 1/(2πi) ∫dz’ f(z’)
= 1/(2πi) * ∫dz’ g(z’)/(z’-0)³
= 1/(2πi) * 2πi/2 g’’(0) = -3/2
Und noch was: Das Residuen-Kalkül ist sozusagen die Verallgemeinerung der verallgemeinerten Cauchy-Integralformel. D.h. für die theoretische und historische Entwicklung ist die Cauchy-Integralformel sicherlich sehr bedeutend, aber für die Berechnug von Integralen in der Praxis kannst du sie getrost vergessen. Das Residuen-Kalkül ist was du brauchst.
Viel Erfolg!
Gruß
Oliver
Ansonsten bleibt mir nix anderes übrig als das
Residuum zu Fuß (nach Defintion) auszurechnen.Na gut, dann halt so:
Sei f(z) = cos(z)/(z³(z²+1)) = g(z)/z³
mit g(z) = cos(z)/(z²+1)
Mit Hilfe der verallgemeinerten Cauchy-Integralforml ergibt
sich dann für das Residuum:res0f := 1/(2πi) ∫dz’ f(z’)
= 1/(2πi) * ∫dz’ g(z’)/(z’-0)³
= 1/(2πi) * 2πi/2 g’’(0) = -3/2
okay, auf das Ergebnis bin ich jetzt auch gekommen. Danke!
Das Residuen-Kalkül ist was du brauchst.
ok, thx. werde ich mir merken
Viel Erfolg!
Gruß
Oliver
Hallo nochmal 
Die hab ich auch in Wiki gefunden, wollte sie aber nicht
anwenden, weil sie noch nicht in der VL eingeführt wurde.
Hier ist eine elegantere Herleitung der angegebenen Residuenformel:
Wenn f bei a einen Pol n-ter Ordnung besitzt, dann ist (z-a)nf(z) und die Ableitungen davon in einer Umgebung U(a) analytisch fortsetzbar, gemäß
[(z-a)<sup>n</sup>f(z)]<sup>(n)</sup> , falls z ≠ a
g<sup>(n)</sup>(z) =
lim<sub>z->a</sub> [(z-a)<sup>n</sup>f(z)]<sup>(n)</sup> , falls z = a
Das Residuum von f an der Stelle a ergibt sich dann gemäß seiner Definition aus dem Integral über den geschlossenen Rand von U(a):
res<sub>a</sub> f
= 1/(2πi) ∫ dz f(z)
= 1/(2πi) ∫ dz g(z)/(z-a)<sup>n</sup>
= 1/(n-1)! g<sup>(n-1)</sup>(a)
= 1/(n-1)! lim<sub>z->a</sub> [(z-a)<sup>n</sup>f(z)]<sup>(n-1)</sup>
Hübsch nicht?
Gruß
Oliver