Hallo!
Hallo,
ich soll ne Facharbeit in Mathe über Endliche Körper und
Vektorräume schreiben.
Mein Lehrer hat mir dazu die Aufgabe gestellt, die Endlichen
Körper Anhand der Restklassenkörper zu erklären…
Naja… inzwischen weiss ich zumindest annähernd was
Restklassenkörper sind, ist dann jedoch die Lösung von
3 + x = 1 nach der Restklassenaddition modulo 5:
x=5n-2 (n ist eine nat. Zahl)
Nun, die Antwort ist nicht ganz falsch, aber auch (formal) nicht ganz richtig.
Der Restklassenkörper modulo 5 ist die folgende Menge:
Z_5 = {0,1,2,3,4}
Man identifiziert dabei jede natürliche Zahl n mit der Zahl, die n als Rest bei Division durch 5 läßt.
Zum Beispiel: 8=3 (mod 5)
Dafür schreibt man auch manchmal eine 3 mit einem Querstrich drüber, was heißt:
3(oben quer) := { diejenigen k, für die gilt: k mod 5 = 3 }
= { diejenigen k, f.d. gilt: k läßt bei Division durch 5 den Rest 3 }
= { diejenigen k, f.d. gilt: k=5n-2 mit einem natürlichen n>0 }
Nun muß man mit dem Rechnen im Restklassenkörper aufpassen. Es gilt beispielsweise im Restklassenkörper modulo 5:
4+1=0, 3+3=2, 4+4=3, …
Denn 4 + 3 = 5 mod 5 = 0 (denn 5 läßt keinen Rest bei Division durch 5),
3 + 3 = 6 mod 5 = 1 (denn 6:5=1Rest1).
(Am besten, man stellt sich eine Verknüpfungstafel auf!)
Das gleiche gilt für die Multiplikation: 3*3=9=4 (mod 5), …
Es ist leicht einzusehen, daß der Restklassenkörper gegenüber Addition und Multiplikation abgeschlossen ist.
Auch ist klar, daß Z_5 bezüglich der Addition eine Gruppe ist. Die Assoziativ- und Distributivgesetze sind auch klar. Damit folgt, daß jede Menge Z_n = { 0(quer), … , (n-1)(quer) }
ein Ring ist.
Diesen nennt man RestklassenRING modulo n.
Außerdem hat der Ring auch noch ein Einselement, nämlich die 1.
Zu Deiner obigen Aufgabe:
3+x=1 (mod 5) (Wir addieren 2.)
5+x=3 (mod 5)
Nun ist aber 5+x (mod 5) = 0+x (mod 5)
Daraus folgt: x=3 (mod 5). Oder x=3(oben quer).
Falls dieses Ergibnis stimmt… wie komme ich darauf??? Ich
bin durch logisches überlegen drauf gekommen, dass bei der
Division von (3+x)/5 der Rest 1 bleiben muss… ist das
Korrekt???
Ja.
Und gibt es da irgendwie einen allgemeinen
Lösungsansatz???
Siehe oben. Rechnen und so oft 5 abziehen oder addieren, wie man es will. Das Ergebnis sollte aber im Bereich 0,…,4 angegeben werden, denn genaugenommen enthält Z_5 nur die Elemente 0(quer), …, 4(quer).
Und dann noch ne frage:
Warum kann eine Restklasse mod k nur dann ein körper sein,
wenn p prim ist??? Welches Körperaxiom ist da verletzt ?
Die Existenz des Inversen bezüglich der Multiplikation.
bitte
anschauliches beispiel…
Wir betrachten Z_6, den Restklassenring modulo 6.
Außerdem sehen wir uns das Element 4 an. Nun muß es laut Körperaxiom für jedes Element, also auch die 4, ein Inveses geben, also ein Element m aus Z_6, für das gilt:
4*m = 1 (Einselement des Körpers)
Es ist aber:
4*0=0, 4*1=4, 4*2=8=2, 4*3=12=0, 4*4=16=4, 4*5=20=2.
Das heißt, die Vier hat kein Inverses.
Man kann auch allgemein zeigen:
Der Restklassenring modulo n, Z_n, ist genau dann ein Köper, wenn n eine Primzahl ist.
Vielen vielen dank
P.S. Also ihr löst mir damit nich meine Facharbeit, dies ist
wie ihr euch sicherlich denken könnt nur ein kleiner auszug
davon, ihr helft mir lediglich beim Verständnis des zu
bearbeitenden Themas…
Klar. Ich hoffe, es hilft Dir.
Viele Grüße,
Frank.
