Hallo,
zum Verständnis meiner Frage erstmal folgende Gegebenheiten:
1)
Auf einer Kugeloberfläche - in etwa wie der Erde - ist die
Gravitationsbeschleunigung genau auf das Zentrum gerichtet,
also die Richtungskomponente eine Normale der Tangente eines
Kreisschnittes.
2)
Bei einer Rotation der Kugel ist die resultierende Komponente aus
Gravitationsbeschleunigung und Rotationsbeschleunigung nicht mehr
auf das Zentrum der Kugel gerichtet also die Richtung auch keine
Normale zur Tangente.
3)
Diese Abweichung, z.Bsp.bei der Erde, ist an den Polen und am
Äquator Null und hat bei einer Kugelform genau bei 45 Grad Breite
sein Maximum. Die Abweichung ist zum Äquator hin gerichtet.
4)
Bei einem Ellipsoid, wie der Erde, ist ein Schnitt durch einen
Längengrad demnach eine Ellipse. Die Normale auf eine Tangente
ist außer an den Polen oder am Äquator nicht auf das geometrische
Zentrum (Mittelpunkt) gerichtet.
5)
Diese Abweichung der Tangenten-Normale der Ellipse und die Abweichung
der Richtung der resultierenden Beschleunigungen kommen sich entgegen,
heben sich aber nicht auf.
Falls ich mich nicht verrechnet habe beträgt die Abweichung am
45.Breitengrad:
a)für die Beschleunigungsresultierende tan(B) ca 0,0017
b)für die Normale auf die Tangente der Ellipse tan(T) ca 0,0033
c)die Differenz beträgt ca 0,0016 Richtung Pol.
6)
Technische Geräte, mit Sensoren welche die Beschleunigungsrichtung
registrieren, wie z.Bsp. Nivellierinstrumente im Vermessungswesen,
weisen diese Abweichung in Richtung des Längenkreises zur Tangente
(„Horizontalen“)auch auf. Diese Differenz ergibt z.Bsp. bei der
Höhenmessung (Nivellierung) eine Fehler von 1,60m auf 1000m
Und jetzt meine Frage:
Zeigt die Beschleunigungsrichtung aus Gravitation auf einer Ellipsoid-
Oberfläche (ohne Rotation)an allen Punkten auf das geometr.Zentrum
oder variiert diese Richtung auch vom „Pol“ zum „Äquator“ so daß die
vorgenannten realen Abweichungen bei der Erde korrigiert oder sogar
aufgehoben werden ?
Wer weiß das was ?
Gruß VIKTOR
PS.
Alle Antworten welche die „Erdkrümmung“ mit einbringen wollen sind
daneben. Die Berücksichtigung der Erdkrümmung bei der „Höhenmessung“
auf der Erde ist ein anderes Thema.
zum Verständnis meiner Frage erstmal folgende Gegebenheiten:
[…]
Ich bin mir nicht sicher, von welchen Abweichgungen Du sprichst, aber die Summe aller Gravitations- und Scheinkräfte wirkt bei einer Flüssigkeit im Gleichgewicht immer senkrecht zur Oberfläche. Bei einem rotierenden Ellipsoiden würde beispielsweise die Summe aus Gravitations- und Zentrifugalkraft an jedem Punkt des Ellipsoiden senkrecht zu seiner Oberfläche (bzw. parallel zur Oberflächennormale) stehen.
Und jetzt meine Frage:
Zeigt die Beschleunigungsrichtung aus Gravitation auf einer
Ellipsoid-
Oberfläche (ohne Rotation)an allen Punkten auf das
geometr.Zentrum
Nein. Das tut sie nur an den Polen und am Äquator.
oder variiert diese Richtung auch vom „Pol“ zum „Äquator“ so
daß die
vorgenannten realen Abweichungen bei der Erde korrigiert oder
sogar
aufgehoben werden ?
Wie gesagt: Ich habe nicht genau verstanden, welche Abweichugen Du meinst.
Moin,
ich mag mich irren, aber ich meine, dass Punkt 5 nicht richtig sein kann:
-
Bei einem Ellipsoid, wie der Erde, ist ein Schnitt durch einen
Längengrad demnach eine Ellipse. Die Normale auf eine Tangente
ist außer an den Polen oder am Äquator nicht auf das
geometrische
Zentrum (Mittelpunkt) gerichtet.
5)
Diese Abweichung der Tangenten-Normale der Ellipse und die
Abweichung
der Richtung der resultierenden Beschleunigungen kommen sich
entgegen,
heben sich aber nicht auf.
Falls ich mich nicht verrechnet habe beträgt die Abweichung am
45.Breitengrad:
a)für die Beschleunigungsresultierende tan(B) ca 0,0017
b)für die Normale auf die Tangente der Ellipse tan(T) ca
0,0033
c)die Differenz beträgt ca 0,0016 Richtung Pol.
Die Erde ist in sehr guter Näherung ein flüssiger Körper, der sich im hydrostatischen Gleichgewicht befindet.
Ein solcher Rotationskörper sollte sich dadurch auszeichnen, dass eine Kraft in tangentialer Richtung an seiner Oberfläche NICHT wirkt. Diese würde nämlich sonst zu einer Scherkraft und damit zu einer Verformung des Körpers führen. Die gemessene Gravitationsbeschleunigung auf einem solchen idealen, homogenen, rotierenden Rotationskörper ist also immer parallel zur Oberflächennormalen.
Zu Deiner eigentlichen Frage:
Zeigt die Beschleunigungsrichtung aus Gravitation auf einer Ellipsoid-
Oberfläche (ohne Rotation)an allen Punkten auf das geometr.Zentrum
oder variiert diese Richtung auch vom „Pol“ zum „Äquator“ so daß die
vorgenannten realen Abweichungen bei der Erde korrigiert oder sogar
aufgehoben werden ?
Da es nicht kugelsymmetrisch ist, kann in Abwesenheit von Rotation nicht davon ausgegangen werden, dass die Gravitationsrichtung zum Mittelpunkt des Rotationsellipsoids hin gerichtet ist:
Befinde sich der Meßpunkt beim radialen Abstand r vom geometrischen Mittelpunkt. Dann kann, wegen der Rotations- und Achssymmetrie alles Material innerhalb von r als sich im Mittelpunkt befindet angenommen werden. Bleiben die Bereiche des Ellipsoids, die sich außerhalb von r befinden. Die werden i.A. einen Einfluß dergestalt auf den Beobachter ausüben, dass der Gravitationsvektor nicht exakt zum Ursprung hin zeigt.
Gruß,
Ingo
Hallo Ingo
ich mag mich irren, aber ich meine, dass Punkt 5 nicht richtig
sein kann:
es könnte doch richtig sein (ich denke es ist so)wenn (s.unten)
a)für die Beschleunigungsresultierende tan(B) ca 0,0017
b)für die Normale auf die Tangente der Ellipse tan(T) ca
0,0033
c)die Differenz beträgt ca 0,0016 Richtung Pol.
Zu Deiner eigentlichen Frage:
der Differenzbetrag im Sinne Deiner nachfolgenden Ausführungen
kompensiert wird.
Da es nicht kugelsymmetrisch ist, kann in Abwesenheit von
Rotation nicht davon ausgegangen werden, dass die
Gravitationsrichtung zum Mittelpunkt des Rotationsellipsoids
hin gerichtet ist:
Und diese „Korrekturkomponente“ interessiert mich.
Gibt es Berechnungen für die Gravitationsrichtung auf der Oberfläche
des nicht rotierenden Ellipsoiden ?
Für die Größe selbst habe ich was gefunden.
Für die Richtung könnte ich mir in einem selbstgemachten Computer-
Programm (für z.Bsp. mathemath. beschreibbare Rotationskörper)
eine Lösung ausdenken, ist mir aber im Moment zu aufwändig.
Gruß VIKTOR
Hallo,
-
Bei einer Rotation der Kugel ist die resultierende Komponente
aus
Gravitationsbeschleunigung und Rotationsbeschleunigung nicht
mehr
auf das Zentrum der Kugel gerichtet also die Richtung auch
keine
Normale zur Tangente.
Hallo
Die Gravitation geht immer in Richtung Massenmittelpunkt
Diese Abweichung, z.Bsp.bei der Erde, ist an den Polen und am
Äquator Null und hat bei einer Kugelform genau bei 45 Grad
Breite
sein Maximum. Die Abweichung ist zum Äquator hin gerichtet.
4)
Bei einem Ellipsoid, wie der Erde, ist ein Schnitt durch einen
Längengrad demnach eine Ellipse. Die Normale auf eine Tangente
ist außer an den Polen oder am Äquator nicht auf das
geometrische
Zentrum (Mittelpunkt) gerichtet.
Die Gravitation ist immer in Richtung Massenmittelpunkt gerichtet, egal wie der Körper aussieht.
-
Diese Abweichung der Tangenten-Normale der Ellipse und die
Abweichung
der Richtung der resultierenden Beschleunigungen kommen sich
entgegen,
heben sich aber nicht auf.
Falls ich mich nicht verrechnet habe beträgt die Abweichung am
45.Breitengrad:
a)für die Beschleunigungsresultierende tan(B) ca 0,0017
b)für die Normale auf die Tangente der Ellipse tan(T) ca
0,0033
c)die Differenz beträgt ca 0,0016 Richtung Pol.
6)
Technische Geräte, mit Sensoren welche die
Beschleunigungsrichtung
registrieren, wie z.Bsp. Nivellierinstrumente im
Vermessungswesen,
weisen diese Abweichung in Richtung des Längenkreises zur
Tangente
Die Gravitation ist immer in Richtung Massenmittelpunkt gerichtet.
Und jetzt meine Frage:
Zeigt die Beschleunigungsrichtung aus Gravitation auf einer
Ellipsoid-
Oberfläche (ohne Rotation)an allen Punkten auf das
geometr.Zentrum
oder variiert diese Richtung auch vom „Pol“ zum „Äquator“ so
daß die
vorgenannten realen Abweichungen bei der Erde korrigiert oder
sogar
aufgehoben werden ?
Die Gravitation ist immer in Richtung Massenmittelpunkt gerichtet.
Bewegungen und Oberflächenbeschaffenheit spielen keine Rolle.
Gruss
Beat
Moin Viktor,
ich mag mich irren, aber ich meine, dass Punkt 5 nicht richtig
sein kann:
es könnte doch richtig sein (ich denke es ist so)wenn
(s.unten)
Ich hatte Punkt 5) auf einen rotierenden, flüssigen Körper (=hydrostat. Gleichgewicht) bezogen verstanden. Unter der Annahme bleibe ich dabei, dass es keine tangentialen Kraftkomponenten an der Oberfläche geben kann.
Zu Deiner eigentlichen Frage:
Da es nicht kugelsymmetrisch ist, kann in Abwesenheit von
Rotation nicht davon ausgegangen werden, dass die
Gravitationsrichtung zum Mittelpunkt des Rotationsellipsoids
hin gerichtet ist:
Und diese „Korrekturkomponente“ interessiert mich.
Gibt es Berechnungen für die Gravitationsrichtung auf der
Oberfläche des nicht rotierenden Ellipsoiden ?
Ja und nein, kommt auf die Definition von „einfach“ drauf an. Du kannst das newtonsche Gravitationsgesetzt anwenden und vektoriell den Spaß aufsummieren bzw. integrieren:
a = -G ∫ r-r0 ρ / (r-r0)3 d r
Dabei ist a die vektorielle Beschleunigung, r0 Dein Beobachterstandort (Vektor vom Ursprung) und r ein Ortsvektor, der die Position der interessierenden Massenelemente beschreibt. Evtl. hilft es das ganze in Zylinderkoordinaten zu rechnen, weil es um eine Achse durch das Zentrum des Ellispoids zylindersymmetrisch ist… vielleicht aber auch nicht 
Einen schönen, geschlossenen, ausgerechneten Ausdruck kann ich Dir jetzt nicht nennen
Vielleicht kann man aber zeigen, dass eine torusförmige, zylindersymmetrische Massenansammlung (alles vom Ellipsoid außerhalb r0 ) auf ein Testteilchen, welches sich auf der Innenkante im Abstand r0 vom Ursprung befindet keinen Effekt hat. Sicher weiß ich nur, dass das für eine homogene Kugelschale außerhalb r0 gelten würde.
Gruß,
Ingo
Hallo Ingo,
Ich hatte Punkt 5) auf einen rotierenden, flüssigen Körper
(=hydrostat. Gleichgewicht) bezogen verstanden. Unter der
Annahme bleibe ich dabei, dass es keine tangentialen
Kraftkomponenten an der Oberfläche geben kann.
reden wir aneinander vorbei , oder ?
Hier brauchen wir nichts annehmen. Du kannst Dir bestimmt selbst
ausrechnen den ellipt.Tangentenwinkel und die tangetiale Komponente
aus der Rotation.
Klar kann da nichts rest bleiben bei einem rot.flüssigen Körper.
Die von mir errechnete Differenz ist die Abweichung der Richtung der
Gravitation bei einem ruhenden Ellipsoid von der Normalen auf die
Tangente (bei einer Kugel =0)
Ich habe das aber doch schon erfragt.Dafür suche ich eine Berechnung.
Gibt es Berechnungen für die Gravitationsrichtung auf der
Oberfläche des nicht rotierenden Ellipsoiden ?
Eben das suche ich.
Gibt es vielleicht Formeln (vielleicht irgendwelche Doktorarbeiten)
welche den Zusammenhang von Rotationsgeschwindigkeit und Abmessungen
a/b des Ellipsoid bei einer bestimmten Masse(u.Dichte) eines flüssigen
Körpers darstellen. Wenn dem so wäre, könnte man leicht die von mir
gesuchten Werte errechnen da ja die Geometrie des elliptischen
Schnittes bekannt wäre.
Gruß VIKTOR
Die Gravitation ist immer in Richtung Massenmittelpunkt
gerichtet, egal wie der Körper aussieht.
Das ist falsch.
Genau, sonst hätten wir es einfach !! - und große Schwierigkeiten
weil dann unsere Physik nicht mehr mit den Erscheinungen
übereinstimmen würde.
V.
wohin denn sonst? [owT]
owT
Hallo
Bei einem rotierenden Ellipsoiden würde
beispielsweise die Summe aus Gravitations- und
Zentrifugalkraft an jedem Punkt des Ellipsoiden senkrecht zu
seiner Oberfläche (bzw. parallel zur Oberflächennormale)
stehen.
aber nur wenn der Ellipsoid flüssig ist - was für die Erde nahezu
zutrifft.
Zentrifugalkraft und Gravitation bestimmen jeweils die Richtung dieser
Kraft.
Die Komponente für die Zentrifugalkraft konnte ich ausrechnen.
Sie allein erzwingt keine „Normale“ auf der Tangente.
Die „Abweichung“ zur normalen muß dann der Anteil der gerichteten
Gravitationskraft sein.Diese ist unabhängig davon ob der Ellipsoid
rotiert oder nicht.Diese Komponente kann ich nicht „unabhängig“
berechnen - suche also entsprechende „Formeln“
Wenn die Summe der Komponenten nicht genau der Richtung der
Normalen auf Tangente entsprechen würden, dann wäre der Rotations-
Ellipsoid eben nicht „flüssig“ genug, er würde der Rotationsverformung
einen Widerstand entgegen setzen, er hätte eine stat.Festigkeit.
Diese wird es bei Himmelskörpern praktisch kaum geben.
Wie gesagt: Ich habe nicht genau verstanden, welche
Abweichugen Du meinst.
„Abweichung“ ist vielleicht ein etwas ungenauer Begriff, aber mir
fiel kein anderer ein. Ich hoffe aber Du hast mich jetzt verstanden.
Gruß VIKTOR
Die Komponente für die Zentrifugalkraft konnte ich ausrechnen.
Sie allein erzwingt keine „Normale“ auf der Tangente.
Die „Abweichung“ zur normalen muß dann der Anteil der
gerichteten
Gravitationskraft sein.Diese ist unabhängig davon ob der
Ellipsoid
rotiert oder nicht.Diese Komponente kann ich nicht
„unabhängig“
berechnen - suche also entsprechende „Formeln“
Ich weiß zwar noch immer nicht genau, was Du meinst, aber ich beginne es zu ahnen. Kann es sein, dass Du eine Formel suchst, mit der man die Gravitationskraft an der Oberfläche eines homogenen Ellipsoiden berechnen kann? Wenn ja, dann muss ich Dich enttäuschen. Erstens glaube ich nicht, dass es eine solche Formel gibt, zweitens ist die Erde nicht homogen und drittens ist die Erde kein Ellipsoid. Wenn man es so genau machen will, wie Du, dann muss man den Geoid berechnen. Das geht nur numerisch und erfordert die Einbeziehung der inhomogenen Masseverteilung innerhalb der Erde. Tatsächlich geht man aber umgekehrt vor, indem man die Form der Oberfläche und die dort herrschende Gravitation vermisst und daraus die Masseverteilung berechnet.
owT
Beim Ellipsoid durch einen Punkt der Längsachse.
Zum Verständnis:
Nimm eine Ellipse und schneide sie beliebig durch , aber so daß
der Schnitt durch den Mittelpunkt geht.
Nur wenn der Schnitt die Ellipse symmetrisch teilt ist die
Schnittrichtung auch die Richtung der Gravitationkomponente.
Der Flächenschwerpunkt ist da immer in Richtung jeden Schnittes.
Das hast Du wahrscheinlich miteinander verwechselt.
Bei der Ermittlung des Flächenschwerpunktes wird jede Koordinate
eines Flächenteilchens linear „gewichtet“ bei der Gravitation
werden aber die Bezugskoordinaten reziprok-quadratisch verarbeitet.
Das gilt natürlich auch für räumliche Gebilde.(Volumenschwerpunkt)
V.
Die Komponente für die Zentrifugalkraft konnte ich ausrechnen.
Sie allein erzwingt keine „Normale“ auf der Tangente.
Die „Abweichung“ zur normalen muß dann der Anteil der
gerichteten
Gravitationskraft sein.Diese ist unabhängig davon ob der
Ellipsoid
rotiert oder nicht.Diese Komponente kann ich nicht
„unabhängig“
berechnen - suche also entsprechende „Formeln“
Ich weiß zwar noch immer nicht genau, was Du meinst, aber ich
beginne es zu ahnen. Kann es sein, dass Du eine Formel suchst,
mit der man die Gravitationskraft an der Oberfläche eines
homogenen Ellipsoiden berechnen kann?
Du hast es fast verstanden.Aber wie Du aus dem obigen und dem
Titel meiner Frage ersehen kannst, interessiert mich vor allem
die Richtung der Gravitationskraft.
zweitens ist die Erde nicht homogen und
drittens ist die Erde kein Ellipsoid.
Letzteres wohl angenähert.
Natürlich ist eine genaue Ermittlung nur unter Berücksichtigung
aller realen Gegebenheiten mit Hilfe eines speziell zugeschnittenen
Computerprogramms möglich.
V.
Die Gravitation ist immer in Richtung Massenmittelpunkt
gerichtet, egal wie der Körper aussieht.
Das ist falsch.
Das ist nicht falsch
Schön dass du wieder da bist.
Gruss
Ich weiß zwar noch immer nicht genau, was Du meinst, aber ich
beginne es zu ahnen. Kann es sein, dass Du eine Formel suchst,
mit der man die Gravitationskraft an der Oberfläche eines
homogenen Ellipsoiden berechnen kann?
Du hast es fast verstanden.Aber wie Du aus dem obigen und dem
Titel meiner Frage ersehen kannst, interessiert mich vor allem
die Richtung der Gravitationskraft.
Wenn ich Gravitationskraft sage, dann meine ich auch die Gravitationskraft - einschließlich der Richtung.
zweitens ist die Erde nicht homogen und
drittens ist die Erde kein Ellipsoid.
Letzteres wohl angenähert.
Wenn Dir diese Näherung reicht, warum nimmst Du dann nicht das Gravitationfeld einer Punktmasse? Der Fehler wird nur unwesentlich größer.
Die Gravitation ist immer in Richtung Massenmittelpunkt
gerichtet, egal wie der Körper aussieht.
Das ist falsch.
Das ist nicht falsch
Aber sicher ist das falsch. Im Inneren eines Ringes wirkt die Gravitationskraft beispielsweise in die entgegengesetzte Richtung.
Hallo
Die Gravitation ist immer in Richtung Massenmittelpunkt
gerichtet, egal wie der Körper aussieht.
Das ist falsch.
Das ist nicht falsch
Aber sicher ist das falsch. Im Inneren eines Ringes wirkt die
Gravitationskraft beispielsweise in die entgegengesetzte
Richtung.
zur Ergänzung und (hoffentlich) endgültigen Klärung.
Im Ring geht die „Richtung“ durch den Massenmittelpunkt nicht
auf den Massenmittelpunkt zu !! das ist ein Vorzeichen-Unterschied
aber kein Richtungs-Unterschied.
Das Kriterium ja oder nein ist allein die Symmetrie der Massen-
verteilung bei einem Schnitt durch den Massenschwerpunkt.
Was soll das falsch-nicht falsch hin und her.
Einfachstes anschauliches Modell:
Zwei Kugeln gleicher Masse durch einen (langen !) Stab verbunden.
Schwerpunkt des „Körpers“ ist in Stabmitte zwischen den Kugeln.
Es sollte klar sein, daß jeder Oberflächenpunkt auf einer der Kugeln
keine Gravitationsrichtung zum Massenmittelpunkt hat außer jeweils
der eine Punkt in der Verlängerung der Stabachse.
V.
Hallo
Wenn ich Gravitationskraft sage, dann meine ich auch die
Gravitationskraft - einschließlich der Richtung.
Woher soll man das wissen.
zweitens ist die Erde nicht homogen und
drittens ist die Erde kein Ellipsoid.
Letzteres wohl angenähert.
Wenn Dir diese Näherung reicht, warum nimmst Du dann nicht das
Gravitationfeld einer Punktmasse? Der Fehler wird nur
unwesentlich größer.
Also das versteht nun keiner (der was von versteht)wenn Du auch
die Richtung (s.oben) mit einbeziehst.
V.
Aber sicher ist das falsch. Im Inneren eines Ringes wirkt die
Gravitationskraft beispielsweise in die entgegengesetzte
Richtung.
Beim ringförmiger Körper ist der Schwerpunkt ausserhalb der Materie.
Er ist irgenwo in der Mitte.
Die Richtung ist immer noch die gleiche.
Gravitation kann die Richtung nicht ändern. Der Massenmittelpunkt ist für alle anderen Körper gegeben.
Gruss