Hi Leute. Wer kann mir den Riemann´schen Maßtensor allgemein und im Datail erklären. Danke Gerald
Hi Gerald,
kannst Du nochmal genau erkl"aren, wo Du den Begriff herhast? Ich kenne von Riemann Mannigfaltigkeiten, einen Integralbegriff (was mit Masstheorie zu tun hat) und einen Kr"ummungstensor, der den Gauss’schen Kr"ummungsbegriff auf h"ohrere Dimensionen verallgemeinert.
Was war Dein Problem/ Wie heisst die Lehrveranstaltung/das Buch?
MfG Lutz
Wie ich Deiner Email-Adresse entnehme, bin ich an der richtigen Adresse. Also, die Quelle meiner Frage ist im Buch Hyperspace von Michio Kaku zu finden. Es geht in diesem Buch um Dimensionen höherer Art, Einstein, Superstrings, Schöpfungstheorie, usw. Laut Buch galt bis vor 200 Jahren noch allgemein die euklidische Geometrie. Bis Riemann. Er ging von der Formel a²+b²+c²+d²+…=z². Das ist zwar nicht nicht vorstellbar, aber theoretisch möglich. Er übertrug diese Gleichungen auf Räume mit einer beliebigen Zahl von Dimensionen. Sie können flach oder gekrümmt sein. Bei flachen gelten die üblichen Axiome des Euklid. Er stellte jedoch fest, das Flächen gekrümmt sein können. Unter solchen Umständen beträgt die Summe der Innenwinkel mehr oder wendiger als 180°. Riemann wollte ein neues Objekt in der Math. einführen, mit dessen Hilfe sich alle Flächen, ganz gleich wie kompliziert sie sind, beschreiben lassen.
Bei gewöhnlicher zweidimensionalen Flächen gab er für jeden Punkt 3 Zahlen an, die die Krümmung dieser Fläche vollständig beschreiben. Aber für 4 Dimensionen, so fand er, brauchen wir für jeden Punkt 10 Zahlen, um seien Eigenschaften zu beschreiben. Sie, die Zahlen, werden folgendermaßen bezeichnet - g11, g12, g13,… Es lassen sichdann seine Zahlen symetrisch anordnen. Es sieht dann aus wie eine Matrix von 4x4 Zahlen. Doch da g12=g21, handlet es sich tatsächlich nur um 10 unabhängige Glieder. Und heute eben bezeichen wir diese Zahlengruppe als Riemmanschen Maßtensor. Aufgrund seines Tensors war er in der Lage, ein leistungsfähiges Instrument zur Beschreibung von Räumen jeglicher Dimension mit beliebiger Krümmung zu entwickeln. Er stelle fest´, daß alle Räume eindeutig def. und in sich schlüssig sind.
So, ich glaube das hat was mit dem Gaußschen Krümmungsbegriff zu tun. Nur leider versteht ich eben seinen Maßtenor nicht.
mfg Gerald aus Ö.
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Hallo Gerald
Ich glaube, daß Du damit den metrischen Tensor meinst (so kenne ich ihn).
Dieser Tensor Guv (u,v sind Indizes) definiert in jedem beliebigen Raum (ob n Dimensional od. gekrümmt) einen Abstand zwischen zwei Punkten.
Mit
ds^2=Guv*dxu*dxv (xu: die u-te Koordinate)
Der m. Tensor für die Ebene mit rechtwinkligen kartesischen Koordinatensystem ist dann
Guv= 1 0
0 1 ,
(daraus ergiebt sich der Satz von Pythagoras)
mit polarkoordinaten
Guv= 1 0
0 r^2.
Mit dem theorema egregium (hervorragender Satz) von Gauß kann man aus Guv die Krümmung in jedem beliebigen Punkt dieses Raumes berechnen.
Ich hoffe, ich habe den gesuchten Tensor ein bißchen beschrieben.
MfG much
Laut Buch galt
bis vor 200 Jahren noch allgemein die
euklidische Geometrie. Bis Riemann. Er
ging von der Formel a²+b²+c²+d²+…=z².
Das ist zwar nicht nicht vorstellbar,
aber theoretisch möglich. Er übertrug
diese Gleichungen auf Räume mit einer
beliebigen Zahl von Dimensionen. Sie
können flach oder gekrümmt sein. Bei
flachen gelten die üblichen Axiome des
Euklid. Er stellte jedoch fest, das
Flächen gekrümmt sein können. Unter
solchen Umständen beträgt die Summe der
Innenwinkel mehr oder wendiger als 180°.
Riemann wollte ein neues Objekt in der
Math. einführen, mit dessen Hilfe sich
alle Flächen, ganz gleich wie kompliziert
sie sind, beschreiben lassen.
Bei gewöhnlicher zweidimensionalen
Flächen gab er für jeden Punkt 3 Zahlen
an, die die Krümmung dieser Fläche
vollständig beschreiben. Aber für 4
Dimensionen, so fand er, brauchen wir für
jeden Punkt 10 Zahlen, um seien
Eigenschaften zu beschreiben. Sie, die
Zahlen, werden folgendermaßen bezeichnet
- g11, g12, g13,… Es lassen sichdann
seine Zahlen symetrisch anordnen. Es
sieht dann aus wie eine Matrix von 4x4
Zahlen. Doch da g12=g21, handlet es sich
tatsächlich nur um 10 unabhängige
Glieder. Und heute eben bezeichen wir
diese Zahlengruppe als Riemmanschen
Maßtensor. Aufgrund seines Tensors war er
in der Lage, ein leistungsfähiges
Instrument zur Beschreibung von Räumen
jeglicher Dimension mit beliebiger
Krümmung zu entwickeln. Er stelle fest´,
daß alle Räume eindeutig def. und in sich
schlüssig sind.
So, ich glaube das hat was mit dem
Gaußschen Krümmungsbegriff zu tun. Nur
leider versteht ich eben seinen Maßtenor
nicht.
Was Du beschreibst, kenne ich als Metrik
(metrischer Tensor) von sogenannten
Riemannschen Raeumen (Verallgemeinerung
von Euklidischen Raumen). Die Bezeichnung
Riemannscher Masstensor ist mir neu,
erscheint aber recht vernuenftig gewaehlt,
da die Metrik letztenendes eine Vorschrift
zur Messung von Weglaengen in einem Raum
angibt.
Weiterhin gibt es einen sogenannten
Riemannschen Kruemmungstensor. Der wird aus
zweiten Ableitungen der Metrik nach Ort und
Zeit gebildet. Man kann sich das meines
Erachtens als eine Verallgemeinerung vom
folgenden vorstellen:
Um herauszubekommen, ob eine Funktion
konvex oder konkav ist (Art der Kruemmung),
bildet man die zweite Ableitung. Ein Raum
wird durch seine Metrik beschrieben. Ob
dieser gekruemmt ist (oder wie), wird eben-
falls aus zweiten Ableitungen, aus denen
der Riemannsche Kruemmungstensor ermittelt
wird, festgestellt.
MEB
Laut Buch galt:bis vor 200 Jahren noch allgemein die:euklidische Geometrie.
Es gab schon im 18. Jahrhundert eine Diskussion "uber Sinn oder Unsinn des letzten Euklidischen Axioms ("uber die Existenz einer Parallelen) und anschliessend Beispiele ohne dieses, die man heute als hyperbolisch beschreiben w"urde. Diese wurden aber eher als Kuriosit"aten betrachtet.
Bis Riemann.
Bis Gauss. Er zeigte, dass die L"angenmessung auf einer Fl"ache nicht davon abh"angt, wie krumm diese im 3D-Raum h"angt, sondern nur von einer Funktion, die heute innere oder Gauss-Kr"ummung heisst.
Die Kr"ummung auf Fl"achen wurde Anfang des 19. Jh. ausf"uhrlich untersucht. Angeblich wusste Gauss schon, wie es weitergehen m"usste, aber wollte nicht mehr. Und so war es sein Sch"uler Riemann, der sich mit solchen Fragen weiter besch"aftigte. Zur genaueren Geschichte lies die Originalschriften oder Spivak:…Band 2, da sind die wesentlichen Texte mit moderner Interpretation zusammengefasst. Es lohnt sich.
Kurzfassung: Eine Mannigfaltigkeit ist ein Raum, in dem um jeden Punkt herum Koordinatenfunktionen existieren, die eine kleine Umgebung auf eine Umgebung des Nullpunktes eines n-dimensionalen linearen Raumes eineindeutig abbilden. Immer wenn zwei solche Koordinatensysteme zusammenstossen, sollen sie sich (2-fach diffenzierbar) „vertragen“.
Jetzt will man Abst"ande messen. Unter recht allgemeinen Voraussetzungen an den (metrischen) Abstand kann dies durch eine symmetrische Bilinearform in den Koordinatenfunktionen in der N"ahe des entprechenden Punktes approximiert werden, dadurch wird ein Skalarprodukt auf dem linearen (Modell-)Raum definiert. Bei Riemann heissen infinitesimal kleine Strecken Linienelemente, deren L"ange kann durch eine solche Bilinearform in Koordinaten eines nahe gelegenen Punktes approximiert werden, und durch Zusammensetzen einer Kurve aus solchen Linienelementen kann man eine sinnvolle Bogenl"ange als Summe der Einzell"angen definieren, deren Infimum zwischen zwei Punkten deren Abstand angibt.
Die Linienelemente heissen heute (Tangential-)Vektoren, und die Bilinearform Metrik(-tensor).
Die Frage, die Riemann sofort anschliessend untersuchte, war die nach Normalformen einer solchen Metrik in der N"ahe eines Punktes (der im linearen Modellraum der Nullpunkt ist).
Was man zun"achst tun kann, ist die symmetrische Bilinearform durch einen linearen Koordinatenwechsel als Quadratsumme in den Koordinatenfunktionen darzustellen.
Betrachten wir nun eine Kurve, die im linearen Raum (=in den Koordinatenwerten) einer Geraden durch den Nullpunkt entspricht. Eine Folge von Punkten gleichen Abstands (im Geradenparameter) auf der Geraden wird dann Linienelementen unterschiedlicher L"ange zugeordnet. Durch eine Koordinatenkorrektur 2. Grades kann erreicht werden, dass solche Linienelemente
in der N"ahe des Ausgangspunktes nahezu (bis auf Fehler 2. Grades in den Koordinatenfunktionen) konstante L"ange haben. Die Koeffizienten der Korrektur sind (bis auf einen konstanten Faktor) die Christoffel-Symbole der Metrik. Die Metrik(=deren Koeffizienten) selbst enth"alt dann keine Terme 1. Grades in den neuen Koordinatenfunktionen.
Durch eine weitere Korrektur 3. Grades kann nun noch erreicht werden, dass die Metrik „in Polarkoordinaten dargestellt“ werden kann, d.h. dass Sph"aren im linearen Raum auf Sph"aren um den Ausgangspunkt mit gleichem Abstand abgebildet werden, und Geraden im linearen Raum durch den Nullpunkt auch auf der Mannigfaltigkeit die Sph"aren senkrecht schneiden, bis auf einen Fehler 3. Grades in den Koordinatenfunktionen.
Riemann zeigte, dass es keinen Weg gibt, die verbleibenden Terme 2. Grades in den Koeffizienten der Metrik zu entfernen, diese entsprechen dem Riemann’schen Kr"ummungstensor (bis auf einen Faktor). Die Symmetrie dieses Tensors ist noch mal gesonderte Betrachtungen wert.
Eine andere Interpretation ist, dass die Kr"ummung der Defekt der L"ange eines (im linearen Raum parallel) verschobenen Linienelements zu seiner tats"achlichen L"ange ist, dies wurde von Riemann betrachtet.
Soweit erstmal.
MfG Lutz
Danke, an alle die geantwortet haben.
Dankeschön Leute. Es ist etwas klarer, aber noch nicht volständig. Ich bin kein Mathematiker. Gerald