HAllo,
was genau besagt die Riemannsche Vermutung; welche Probleme werden gelöst, wenn es gelingt sie zu beweisen und warumbricht die Mathematik in sich zusammen, wenn sich herausstellt, dass sie falsch ist?
Gruß
Oliver
HAllo,
das genau besagt die Riemannsche Vermutung:
Die Riemannsche Vermutung
Dabei geht es um eine seit 150 Jahren offene Frage, die von dem deutschen Mathematiker Bernhard Riemann formuliert wurde. Um das Problem für Laien zu beschreiben, muss man an die Definition des Begriffs „Primzahl“ erinnern: Eine natürliche Zahl n heißt Primzahl, wenn sie nur durch 1 und durch sich selbst teilbar ist.
3, 17, 101 sind Beispiele für Primzahlen, 99 dagegen ist keine. Nun kennt man seit etwa 100 Jahren eine Näherungsformel für die Anzahl der Primzahlen. Sie wurde schon von Gauß vermutet, bewiesen wurde sie aber erst 1896 von den Franzosen Hadamard und (unabhängig) de la Vallée Poussin). Durch die Formel wird ausgesagt, dass es - für große Zahlen x - unterhalb von x ungefähr
x geteilt durch den natürlichen Logarithmus von x
viele Primzahlen gibt (dabei ist der natürliche Logarithmus von x der Logarithmus von x zur Basis e, also diejenige Zahl y, für die ey=x gilt.) Damit hat man zum Beispiel die grobe Information, dass etwa ein Zehntel der Zahlen unterhalb 22.000 Primzahlen sind, denn der natürliche Logarithmus von 22.000 ist ungefähr 10. Und die Riemannsche Vermutung lässt sich dann formulieren als Formel für eine wesentlich bessere Näherung. Statt des Logarithmus tritt hier der Integrallogarithmus auf, die genaue Formulierung ist ziemlich technisch.
Etwas präziser kann die Riemannsche Vermutung so umformuliert werden, dass sie der Voraussage derjenigen Punkte entspricht, an denen eine gewisse Funktion den Wert Null annimmt. Diese Funktion - die Riemannsche Zetafunktion - ist zunächst durch die folgende Zuordnung definiert: Einer Zahl x, die größer als 1 ist, wird der Wert
1/1x+1/2x+1/3x+…
zugeordnet. Nun kann man Definition dieser Funktion auf alle von 1 verschiedenen komplexen Zahlen erweitern, und es geht um die Nullstellen dieser Fortsetzung.
Die Poincaré-
quelle: http://www.mathematik.de/01aktuelles/s1_2/sieben.htm
vielleicht findest du hier die Antworten
Frank
Hallo.
vgl. auch Teubner-Taschenbuch Seite 725ff.
und warumbricht die Mathematik in sich zusammen, wenn sich
herausstellt, dass sie falsch ist?
Das ist natürlich Quatsch. Wenn sie falsch ist, dann ist die hinter Aussage stehende Abschätzung der Primzahldichte eben falsch, bzw. die Zeta-Funktion besitzt eben doch mehr Nullstellen bzw. woanders.
Dadurch bricht aber nix zusammen.
Gruß
TYll
Hallo
vgl. auch Teubner-Taschenbuch Seite 725ff.
mach ich
und warumbricht die Mathematik in sich zusammen, wenn sich
herausstellt, dass sie falsch ist?Das ist natürlich Quatsch. Wenn sie falsch ist, dann ist die
hinter Aussage stehende Abschätzung der Primzahldichte eben
falsch, bzw. die Zeta-Funktion besitzt eben doch mehr
Nullstellen bzw. woanders.
Dadurch bricht aber nix zusammen.
Da wär ich mir nicht so sicher.
Es kommt natürlich darauf an, wie man die Riemannsche Vermutung formuliert - jedenfalls scheint die Riemannsche Vermutung eine viel grundlegendere Bedeutung für die Zahlentheorie zu haben als eine bloße Abschätzung. Wer würde sonst eine Million Dollar für den Beweis einer Abschätzung zahlen?!
Gruß
Oliver
Hallo Oliver,
Da wär ich mir nicht so sicher.
Es kommt natürlich darauf an, wie man die Riemannsche
Vermutung formuliert - jedenfalls scheint die Riemannsche
Vermutung eine viel grundlegendere Bedeutung für die
Zahlentheorie zu haben als eine bloße Abschätzung. Wer würde
sonst eine Million Dollar für den Beweis einer Abschätzung
zahlen?!
Primzahlen haben eine grosse Bedeutung in der Kryptographie, und dort ist es wichtig zu Wissen wieviele Primzahlen es in einem bestimmten Bereich gibt. Da stehen kommerzielle Interresen dahinter.
MfG Peter(TOO)
Hi Oliver
Da wär ich mir nicht so sicher.
Es kommt natürlich darauf an, wie man die Riemannsche
Vermutung formuliert - jedenfalls scheint die Riemannsche
Vermutung eine viel grundlegendere Bedeutung für die
Zahlentheorie zu haben als eine bloße Abschätzung. Wer würde
sonst eine Million Dollar für den Beweis einer Abschätzung
zahlen?!
Davon bleibt aber die Mathematik unberührt. die kann man nicht dadurch zusammenbreechen lassen, daß man zeigt, daß eine Vermutung eben doch nicht stimmt. Dazu müßte man schon beweisen (haha), daß das Fundament, auf dem die Mathematik basiert (sprich: die Logik) verkehrt ist.
Gruß
TYll
Es kommt natürlich darauf an, wie man die Riemannsche
Vermutung formuliert - jedenfalls scheint die Riemannsche
Vermutung eine viel grundlegendere Bedeutung für die
Zahlentheorie zu haben als eine bloße Abschätzung. Wer würde
sonst eine Million Dollar für den Beweis einer Abschätzung
zahlen?!
Hi.
Zum Preisgeld: Man denke z.B. an den letzten Fermat Satz an dem die Gemeinde der Zahlentheoretiker 350 Jahre saßen. Darauf wurden auch einige hohe Preise ausgesetzt obwohl die Lösung des Problems (siehe weiter unten bei den Artikeln) keinen praktischen Nutzen hat.
Das Problem wird wohl so aufgeputscht weil die Mathemaatiker schon 190 Jahre dran sitzen und es für die Zahlentheoretiker sehr interessant ist…
Sirach
Hallo Peter
Primzahlen haben eine grosse Bedeutung in der Kryptographie,
und dort ist es wichtig zu Wissen wieviele Primzahlen es in
einem bestimmten Bereich gibt. Da stehen kommerzielle
Interresen dahinter.
Ist es nicht so, dass durch den Beweis zwei fundamentale Bereiche mit einander vereint werden: nämlichen die Zahlentheorie mit der Funktionentheorie komplexer Funktionen??
Gruß
Oliver