Hallo, Gerald, du schreibst ua:
„Bei dem von Ihnen genannten Beispiel ist zu fragen, ob es sich wirklich um einen Ring handelt, da es unter den geraden Zahlen kein Einselement gibt, was meines Wissens schon wichtig wäre.“
danke für deine Hinweise.
Was du zu den komplexen „Zahlen“ schreibst, ist mir zum Teil (aber recht unwillig, zugegeben) ziemlich geläufich; aber natürlich haben Ringe Einselement!!! Also bilden die geraden Zahlen keinen Ring! Wie konntick datt übersehen!? Grad, woick doch gegen die allgemeine scholastische Matheamtik Oiler wieder nach Athen zurücktragen will!!!
Es ist angenehm, daß du mich gewisserweise „zärtlich“ auf diesen meinen Fehler hingewiesen hast.
Was deine Anrede „Sie“ betrifft, muß nicht sein, und ich denke einglich, hier im Forum simmer Kollegen, oder?
Du schreibst auch: „Dies bedeutet, dass erst durch die Erweiterung auf den Körper der komplexen Zahlen jedes Polynom voll zerlegbar ist“.
Das ist mir natürlich klar, aber diese sind eben für mich keine „Zahlen“, und, in Ersetzung dessen, suche ich in der Tiefe quadratischer Primpolynome Grund.
Der Begriff „Egalisierung des Defektes“ in Zusammenhang mit Ringen ohne ZPE ist auch eine amateurhafte Kreation von mir, der ich irngwie nur ZPE-Ringe als vollständige empfinde. Mit „Egalisierung“ meine ich eingi eher „Aufhebung“ bzw „Kompensation“.
Genauso übergens wie meine dir manchmal recht merkwürdig scheinen müssende Rechtschreibung und auch Grammatik. Aber nach der ziemlich gescheiterten Rechtschreibreform von oben ist mAn eine kasuistische Individualreform hoide annesacht, oder nicht?
„Aber diese Probleme sind weniger unter dem Gesichtspunkt der Zerlegbarkeitsstruktur interessant als vielmehr unter Stabilitätsgesichtspunkten. Hierzu gibt es auch umfangreiche Instrumentarien, die Lage solcher Nullstellen anhand von Analysen der Polynome zu klassifizieren. Zu den Zetafunktionen kann sich leider nichts sagen, außer dass auch eine Freundin von mir als Professorin sich damit befasst, hier die Nullstellen zu finden.“
„Stabilitätskriterien“, verstehe ich leider nicht, was damit gemeint ist. Was aber die „Nullstellen“ (deiner Freundin, smile!) betrifft, sind ws die komplexen Nullstellen der Zetafunktion gemeint und Riemanns Vermutung ist annesprochen. Tscha, das ist auch für mich (eben, nur für mich) sone Art Oilerspiegelei.
Die Zetafunktion gehört schon mit rein rationalen/„reellen“ Argumenten neben der Gammafunktion zu den elementarsten Funktionen und dienen zb in vielen Fällen als Ausdruck bestimmter Integrale ohne bekannte Stammfunktion. ZB ist ja
(1/[x-1]!)*Int{t^[x-1]/(e^t -1)*dt} = Zeta(x) = Summe(1/m^x) für m von 1 gegunendlich. Wobei der Nenner des Vorfaktors, [x-1]! = Gamma(x) = Int{t[x-1]*e^[-t]*dt} für t von 0 bis unendlich ist.
Durch Substitution erhält man auch:
Zeta(x) = Int{(-ln[t])^[x-1]/{(x-1)!*(1-t)} *dt} für t von 0 bis 1.
Auffallenderweise hatte übergens schon Oiler einst von sich gegeben, daß „i“ eigentlich keine Zahl ist.
Natürlichj aber ist i aufgrund der Öffnung der 2ten Dimension (eben weil es „die Abwendung ohne Zuwendung“ ist!!!) eine elementare Größe, v.a auch bei physikalischen "Ortogonalitätsphänomenen.
„Man besten vorstellen lässt sich dies über die Rechnung von Polarkoordinaten, wo die Phasenwinkel sich dann unabhängig vom Betrag der rotierenden Zeiger bei Multiplikation und Potenzierung addieren bzw. multiplizieren.“
Das meinte ich. Stellt man mathematisch die Abwendungseinheit dar als 1 + i (weil, isscha ein Abwendungsschritt auf einen „vorwärts“, und vollführt nun diesen nicht auf einmal sondern in unendlich vielen unendlich kleinen Schritten (also Produkt von Schritten unter Einhaltung von Moivre: Winkelsumme und Betragsprodukt), so hat man unter Anwendung der Regel von de l´Hôpital: limes{(cos(pi/2n)+i*sin(pi´/2n)/n)^n
für n gegunendlich = nach mehreren Schrittem e^(î*[pi/2]) = i, und entwickelt dann auch noch dementsprechend eî*x = cosx + i*sinx.
Übergens, die Tatsache i^2 = -1 und die Gültigkeit von „Moivre“ bedingen sich gegenseitig.
Die von Zagier („allgemein“ für komplexe Hochzahlen) gefundene Formel (in der „logarithmischen Form“) ergibt sich für natürliche Zahlen übergens ganz „trivial“, wenn man Summe(1/m^k) = Integral(t^[m-1])*dt, für t von 0 bis 1 = Integral([1/t]t^m)*dt , k-mal nach t partiell aufleitet unter jeweiliger Abspaltung eines t´s als Nenner. Ergibt nämlich im ersten Integrationsschritt:
Partielles Teilintegral(verschwindet) +
Int{ln(t)^1 * t^[m-1]*dt}, und durch weitere Abspaltung jeweils eines t als Nenner steigt nur der Exponent über dem Logarithmus.
Ich hatte diese Formel (für eben natürliche Hochzahlen) zunächst auf kompliziertem Wege gefunden, und zwar mithilfe einer Summen-Produkt-Transformation, der Gammafunktion und der Regel von Hôpital, indem ich zunächst einmal die unendliche Summe(1/m^k) in ein identisches unendliches Produkt umwandelte (Gammafunktion befaßt sich ja nur mit unendlichen Produkten), und zwar auf eine Weise, wie „Mathematiker 1 + 2 zusammenzählen“(sachtmanso):
Als limes{n*(1+1/n)*(1+2/n)-n} f+r n gegundlich. Denn was für 2 Summanden gilt, gilt in diesem fall auch für unendlich viele.
Schade, daß du zur „Zetafunktion“ noch keinen Draht hast. Ich finds alleine schon faszinierend, daß die unendliche Summe der natürlichen Kehrwertquadrate, also Summe(1/m^2) = pi^2/6 = ~1,6…, und Summe(1/m^4) = pi^4/90; und mir läßt die Tatsache der Unergründlichkeit der Summe für ungerade Hochzahlen keine Ruhe.
Falls es dich interessiert: WAS kommt heraus bei:
(1/2)*(4/3)*(5/6)*(8/7)*****, unendlich weitergerechnet?
Durch diese Aufgabe bin ich vor Jahren überhaupt wieder noigierig auf die Mathe gekommen (dabei zunächst auf die Gammafunktion). Im Ergebnis taucht übergens SqRt[pi] auf!
Ich hoffe, dir nicht auf die Nüsse gegangen zu sein,
nuaber ersmal ciao, manni (ganz klein geworden).