Hallo Matheexperten,
wieso muss man bei der Def. des Ringhomomorphismus axiomatisch fordern, dass f(1)=1 ist?
Das folgt doch schon aus der Forderung f(x*y)=f(x)*f(y).
Denn: 1*f(x)=f(x)=f(1*x)=f(1)*f(x) => 1=f(1)
Gruß
Oliver
Einselement des Bildringes darf nicht fehlen
Es könnte sonst passieren, dass bei bloßer Angabe einer Abbildungsfunktion f die Bildmenge keinen Ring mehr darstellt, sondern nur noch ein Ideal wie etwa bei f(x)=2*x. Dann wäre zwar für die Bildmenge der geraden Zahlen die multiplikative Homomorphismusbedingung erfüllt, aber es dürfte sich um keinen Ring mehr handeln. Ein Ring ist ähnlich definiert wie ein Körper, nur dass es nicht zu jedem Element bezüglich der Multiplikation ein Inverses geben muss.
Gruß
Gerald
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Hallo Matheexperten,
wieso muss man bei der Def. des Ringhomomorphismus axiomatisch
fordern, dass f(1)=1 ist?Das folgt doch schon aus der Forderung f(x*y)=f(x)*f(y).
Denn: 1*f(x)=f(x)=f(1*x)=f(1)*f(x) => 1=f(1)
Hallo Gerald,
erstmal danke für die Antwort.
Es könnte sonst passieren, dass bei bloßer Angabe einer
Abbildungsfunktion f die Bildmenge keinen Ring mehr darstellt,
sondern nur noch ein Ideal wie etwa bei f(x)=2*x. Dann wäre
zwar für die Bildmenge der geraden Zahlen die multiplikative
Homomorphismusbedingung erfüllt,
die Bedingung ist doch gar nicht erfüllt:
f(x*y)=2*(x*y) ungleich (2*x)*(2*y)=f(x)*f(y)
aber es dürfte sich um keinen
Ring mehr handeln.
Was hälst du denn von meiner obigen Begründung, dass diese Bedingung mit der multiplikativen Bedingung automotisch mit erfüllt ist?
Und schließlich: Wieso bracht man denn bei der Definition eines Körperhomomorphismus diese Bedingung nicht??
Ich blick da irgendwie nicht durch…
Gruß
Oliver
Einselemente?
Hallo Matheexperten,
wieso muss man bei der Def. des Ringhomomorphismus axiomatisch
fordern, dass f(1)=1 ist?Das folgt doch schon aus der Forderung f(x*y)=f(x)*f(y).
Denn: 1*f(x)=f(x)=f(1*x)=f(1)*f(x) => 1=f(1)Hallo Gerald,
erstmal danke für die Antwort.
die Bedingung ist doch gar nicht erfüllt:
f(x*y)=2*(x*y) ungleich (2*x)*(2*y)=f(x)*f(y)
Ja, dies ist auch kein passendes Beispiel. Dann muss ich zur Ermittlung des feinen Unterschieds auch erst mal in entsprechendem Kursmaterial nachsehen.
Was hälst du denn von meiner obigen Begründung, dass diese
Bedingung mit der multiplikativen Bedingung automotisch mit
erfüllt ist?
Diese ist problematisch, da es auch in der Ringtheorie viele Feinheiten gibt wie das Auftreten verschiedener Einheiten, nicht kommutativem Verhalten usw.
Und schließlich: Wieso bracht man denn bei der Definition
eines Körperhomomorphismus diese Bedingung nicht??
Ich blick da irgendwie nicht durch…
Ich nehme an, dass beim Körper durch die Existenz eines inversen Elements zu jedem die Bedingung automatisch gesichert ist. Aber auch hier müsste ich mich in meinen Unterlagen nochmals etwas vergewissern, was hier genau gemeint ist.
Gruß
Oliver
Schluss ist falsch
HAllo,
ich glaub ich habs. Der Schluss in
1*f(x)=f(x)=f(1*x)=f(1)*f(x) => 1=f(1)
ist falsch, weil dies der Rechtsmultiplikation eines Inversen,
nämlich f(x)^-1 entspricht. Die Existenz eines Inversen bzgl.
der Multiplikation ist jedoch in Ringen nicht gesichert!
Wohl aber bei Körpern, weshalb diese Forderung bei
Körperhomomorphismen hinfällig wird.
Das dürfte alles klären.
Gruß
Oliver
Die Bedingung f(1)=1 kommt schon in der Definition vor und bezieht sich auf den Grundring von Original und Bild. Ich glaube nun doch noch ein Beispiel gefunden zu haben, wie problematisch es wäre, diese Forderung nicht zu stellen.
Wenn man alle Diagonalenmatrizen einer Dimension n mit n>1 betrachtet mit nur ganzzahligen Koeffizienten, dann bilden diese einen Ring. Dies gilt auch für die Submenge von solchen Matrizen, die etwa nur im ersten Diagonalenelement von 0 verschieden sind wie alle (a, 0; 0, 0) mit a aus Z. Wenn nun diese Menge von Matrizen, die in sich ein Ring ist, durch Multiplikation mit der Einheitsmatrix (1, 0; 0, 1) wieder in den Bildbereich aller ganzzahligen Diagonalenmatrizen abgebildet wird, ist die Multiplikationsbedingung erfüllt, aber das Bild
(1, 0; 0, 0) vom Einslement (1, 0; 0, 0) ist dann nicht gleich dem Einselement (1, 0; 0, 1)des Bildringes. Sowas als Ringhomomorphismus zu definieren, dürfte wenig sinnvoll sein und daher als pathologisch auszuschließen sein.
Gruß
Gerald
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Hallo Gerald,
aja schön, tolles Beispiel danke.
Aber eigentlich ist es doch wie gesagt klar, dass man es extra fordern muss, weil es
a) sonst die Gruppenstruktur von * nicht respektiert (Eins -> Eins) und
b) wie gesagt nicht automatisch aus der Multiplikationsforderung folgt
Gruß
Oliver