Du möchtest Prof. Hirsch beerben? https://www.versicherungsombudsmann.de/der-ombudsmann/
Irgendwie kommt mir deine Frage komisch vor. Es gibt den institutionalisierten Versicherungsombudsmann, aktuell Prof. Hirsch. Und natürlich können sich Parteien eines Streits auch auf ein Schiedsgericht verständigen. Da wird man aber nicht „irgendjemanden“ fragen/akzeptieren, sondern da nutzt man dann entweder ebenfalls institutionalisierte Stellen, die entsprechende Schiedsgerichte betreiben, die dann mit erfahrenen Fachleuten im jeweiligen Rechts- und Fachgebiet besetzt sind, oder man verständigt sich auf genau solche Leute.
Und Schiedsgerichte machen natürlich nur Sinn/werden von den Parteien natürlich nur akzeptiert, wenn sie in einer nachvollziehbaren Art entscheiden, und sich dabei an Recht und Gesetz halten, wofür man eben entsprechend erfahrene Leute braucht. Ich kann mir keine Versicherung vorstellen, die bereit wäre sich auf ein Schiedsgericht einzulassen, das diesem Anspruch nicht gerecht würde. Und wenn der erfüllt wird, dann stellt sich auch deine Frage nicht so wirklich.